Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x^2+xy+y^2=15\\27(x^5+y^5)=4(x^3+y^3)\end{array}\right.$

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

Đặt u = (x – y)² ≥ 0 ; v = xy, Khai triển các hằng đẳng thức ta có:

x² + xy + y² = (x – y)² + 3xy = u + 3v

x^5 + y^5 = (x + y)[(x²)² – x³y + x²y² – xy³ + (y²)²]

= (x + y)[x²(x² + xy + y²) + y²(x² + xy + y²) – 2xy(x² + xy + y²) + x²y²]

= (x + y)[(x – y)²(x² + xy + y²) + x²y²] = (x + y)(15u + v²)

x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²) = (x + y)[(x – y)² + xy] = (x + y)(u + v)

Thay vào HPT

{ x² + xy + y² =15

{ 27(x^5 + y^5) = 4(x³ + y³)

⇔

{ u + 3v = 15

{ 27(x + y)(15u + v²) = 4(x + y)(u + v)

⇔

{ u + 3v = 15

{ (x + y)[27(15u + v²) – 4(u + v)] = 0

⇔

{ u + 3v = 15 

{ (x + y)(27v² + 401u – 4v) = 0

⇔

{ x² + xy + y² =15

{ x + y = 0

và

{ u = 15 – 3v

{ 27v² + 401u – 4v = 0 

⇔

{ x² + xy + y² =15

{ x + y = 0

và

{ u = 15 – 3v

{ 27v² – 1207v + 6015 = 0

Đến đây bạn tự giải tiếp

Trả lời