Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{array}{l}(x+y)(x^2+y^2)=1\\(x+y)(x^4+y^4+x^2y^2-2)=0\end{array}\right.$

Gợi ý các bước giải: 

Xét phương trình thứ hai:

$\eqalign{
  & (x + y)({x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2} – 2) = 0  \cr 
  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
   {x + y = 0}  \cr 
   {{x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2} – 2 = 0}  \cr 

 } } \right. \cr} $

+) Với x + y = 0 không thỏa mãn phương trình đầu tiên

+) Với ${{x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2} – 2 = 0}$ ta có: 

$\eqalign{
  & {x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2} – 2 = 0  \cr 
  &  \Leftrightarrow {({x^2} + {y^2})^2} – 2{x^2}{y^2} + {x^2}{y^2} – 2 = 0  \cr 
  &  \Leftrightarrow {({x^2} + {y^2})^2} – {x^2}{y^2} = 2  \cr 
  &  \Leftrightarrow ({x^2} + {y^2} – xy)({x^2} + {y^2} + xy) = 2 \cr} $

$\eqalign{
  &  \Leftrightarrow ({(x + y)^2} – 2xy – xy)({(x + y)^2} – 2xy + xy) = 2  \cr 
  &  \Leftrightarrow ({(x + y)^2} – 3xy)({(x + y)^2} – xy) = 2 \cr} $ (*)

Xét phương trình đầu tiên: 

$(x + y)({(x + y)^2} – 2xy) = 1$

$\eqalign{
  & {(x + y)^2} – 2xy = {1 \over {x + y}}  \cr 
  &  \Leftrightarrow xy = {1 \over 2}({(x + y)^2} – {1 \over {x + y}}) \cr} $

Thay vào phương trình (*) ta được 1 phương trình mới có ẩn là x + y

Giải phương trình ta được x + y, tìm xy

Từ đó suy ra 2 nghiệm x, y