Giải hệ phương trình $$ \left\{\begin{matrix} x^2 + 4y – 13 + (x-3)\sqrt{x^2+y-4} = 0 \\ (x+y-3)\sqrt{y} + (y-1)\sqrt{x+y+1} = x+3y-5 \end{matrix}\ri

Đáp án:

Giải thích các bước giải: Điều kiện : Bạn tự đặt

Đặt $ u = \sqrt[]{y} ≥ 0; v = \sqrt[]{x + y + 1} ≥ 0 ⇒ x + y – 3 = v² – 4$;

$ x + 3y – 5 = (x + y + 1) + 2y – 6 = v² + 2u² – 6$

Thay vào PT thứ 2 của hệ:

$(v² – 4)u + (u² – 1)v = v² + 2u² – 6$

$⇔ (u – 1)v² + (u² –  1)v – 2(u² + 2u – 3) = 0$

$⇔ (u – 1)v² + (u² –  1)v – 2(u – 1)(u + 3) = 0$ 

$⇔ (u – 1)(v² + uv + v – 2u – 6) = 0$ 

$⇔ (u – 1)(v² + uv + 3v – 2u – 2v – 6) = 0$

$⇔ (u – 1)(v – 2)(v + u + 3) = 0$ 

$⇔ (u – 1)(v – 2) = 0$ 

@ Nếu $u – 1 = 0 ⇔ u = 1 ⇔ y = 1$

Thay vào PT thứ nhất: $x² – 9 + (x – 3)\sqrt[]{x² – 3} = 0$ 

$⇔ (x – 3)(x + 3 + \sqrt[]{x² – 3}) = 0$ 

– Nếu $ x – 3 = 0 ⇒ x = 3$

– Nếu $ x + 3 + \sqrt[]{x² – 3} = 0 ⇔ \sqrt[]{x² – 3} = – (x + 3) (*)$

$⇒ x² – 3 = x² + 6x + 9 ⇔ x = – 2$ ( không thỏa(*))

@ Nếu $v – 2 = 0 ⇔ v = 2 ⇔ x + y + 1 = 4 ⇔ y = 3 – x$

Thay vào PT thứ nhất : $x² – 4x – 1 + (x – 3)\sqrt[]{x² – x – 1} = 0$

Lại đặt : $a = \sqrt[]{x² – x – 1} ≥ 0; b = x – 3$

$⇒ x² – 4x – 1 = x² – x – 1 – 3(x – 3) – 9 = a² – 3b – 9$

Thay vào PT: $a² – 3b – 9 + ab = 0 ⇔ (a – 3)(a + b + 3) = 0$

– Nếu $a – 3 = 0 ⇔ a = 3 ⇔ x² – x – 1 = 9 ⇔ x² – x – 10 = 0$

$ ⇒ x = \frac{1 ± \sqrt[]{41}}{2} ⇒ y = 3 – x = \frac{5 ± \sqrt[]{41}}{2}$ 

– Nếu $a + b + 3 = 0 ⇔ \sqrt[]{x² – x – 1} + x = 0 (**)$

$ ⇔ \sqrt[]{x² – x – 1} = – x ⇒ x² – x – 1 = x² $

$ ⇒ x = – 1$ ( thỏa (**)) $⇒ y = 3 – x = 4$

Kết luận : HPT có 4 nghiệm

$(x; y) = (3; 1); (- 1; 4); (\frac{1 + \sqrt[]{41}}{2}; \frac{5 – \sqrt[]{41}}{2}); (\frac{1 – \sqrt[]{41}}{2}; \frac{5 + \sqrt[]{41}}{2})$