Giải hệ phương trình: $\left \{ {{\sqrt{x^{2}+7}+\sqrt{-2-x}+\sqrt{-1-10y} =8} \atop {x\sqrt{y^{2}-4y+5}+\sqrt{x^{2}+1}=y\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{y^{2}-4

0 bình luận về “Giải hệ phương trình: $\left \{ {{\sqrt{x^{2}+7}+\sqrt{-2-x}+\sqrt{-1-10y} =8} \atop {x\sqrt{y^{2}-4y+5}+\sqrt{x^{2}+1}=y\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{y^{2}-4”

1. Đáp án: $(x; y) = (- 3; – 1)$

    

   Giải thích các bước giải:

   ĐKXĐ $ – 2 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ – 2 < 0$

   $ – 1 – 10y ≥ 0 ⇔ y ≤ – \dfrac{1}{10} < 0$

   Biến đồi tương đương PT thứ 2:

   $(x + 1)\sqrt{(y – 2)² + 1} = (y – 1)\sqrt{x² + 1}$

   $ ⇔ \dfrac{x + 1}{\sqrt{x² + 1}} = \dfrac{(y – 2) + 1}{\sqrt{(y – 2)² + 1}} (1)$

   Xét hàm số $:f(t) = \dfrac{t + 1}{\sqrt{t² + 1}}$ xác định và liên tục với $∀t < 0$

   $ f'(t) = \dfrac{\sqrt{t² + 1} – \dfrac{t(t + 1)}{\sqrt{t² + 1}}}{t² + 1} = \dfrac{1 – t}{(t² + 1)\sqrt{t² + 1}} > 0 $ với $∀t < 0$

   $ ⇒ f(x) $ đồng biến với $ ∀t < 0$

   Nghĩa là $ f(t_{1}) ≤ f(t_{2}) ⇔ t_{1} =<  t_{2} (2)$

   Từ $(2) ⇒ (1) ⇔ x = y – 2 ⇔ y = x + 2$ thay vào PT thứ nhất

   $ \sqrt{x² + 7} + \sqrt{- 2 – x} + \sqrt{- 1 – 10(x + 2)} = 8$

   $ ⇔ \sqrt{x² + 7} – 4 + (\sqrt{- 2 – x} – 1) + \sqrt{- 21 – 10x} – 3 = 0$

   $ ⇔ \dfrac{(x² + 7) – 16}{\sqrt{x² + 7} + 4 } + \dfrac{(- 2 – x) – 1}{\sqrt{- 2 – x} + 1} + \dfrac{(- 21 – 10x) – 9 }{\sqrt{- 21 – 10x} + 3} = 0$

   $ ⇔ \dfrac{x² – 9}{\sqrt{x² + 7} + 4 } – \dfrac{x + 3}{\sqrt{- 2 – x} + 1} – \dfrac{10(x + 3)}{ \sqrt{- 21 – 10x} + 3} = 0 $

   $ ⇔ (x + 3)(\dfrac{x – 3}{\sqrt{x² + 7} + 4 } – \dfrac{1}{\sqrt{- 2 – x} + 1} – \dfrac{10 }{ \sqrt{- 21 – 10x} + 3}) = 0 $

   ( vì $x < – 2 ⇒ x – 3 < – 5 < 0$ nên biểu thức trong ngoặc $< 0$)

   $ ⇔ x + 3 = 0 ⇔ x = – 3 < – 2 ⇒ y = – 1 < \dfrac{1}{10} (TM)$

    

   Bình luận