Giải hệ phương trình:
$\left \{ {{\sqrt{3x+y}+xy=y^{2}+2\sqrt{y}\\ } \atop {x^{2}y-5y^{2}+8x+2=\sqrt{5y-6}+\sqrt{8x+y-2}\\}} \right.$
Giải hệ phương trình:
$\left \{ {{\sqrt{3x+y}+xy=y^{2}+2\sqrt{y}\\ } \atop {x^{2}y-5y^{2}+8x+2=\sqrt{5y-6}+\sqrt{8x+y-2}\\}} \right.$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Điều kiện $: 3x + y ≥ 0; y ≥ 0; 5y – 6 ≥ 0; 8x + y – 2 ≥ 0 ⇒ y ≥ \frac{6}{5}(1)$
Biến đổi $PT$ thứ nhất:
$\sqrt[]{3x + y} + xy = y² + 2\sqrt[]{y} $
$ ⇔ \sqrt[]{3x + y} – 2\sqrt[]{y} + xy – y² = 0$
$ ⇔ \frac{(\sqrt[]{3x + y})² – (2\sqrt[]{y})²}{\sqrt[]{3x + y} + 2\sqrt[]{y}} + y(x – y) = 0$
$ ⇔ \frac{3(x – y)}{\sqrt[]{3x + y} + 2\sqrt[]{y}} + y(x – y) = 0$
$ ⇔ (x – y)(\frac{3}{\sqrt[]{3x + y} + 2\sqrt[]{y}} + y) = 0$
$ ⇔ x – y = 0 ⇔ x = y ≥ \frac{6}{5}$ (vì $y ≥ \frac{6}{5} > 0)$
Thay vào $PT$ thứ hai:
$x³ – 5x² + 8x + 2 = \sqrt[]{5x – 6} + \sqrt[]{9x – 2} $
$⇔ x³ – 5x² + 6x + (x – \sqrt[]{5x – 6}) + [(x + 2) – \sqrt[]{9x – 2}] = 0$
$ ⇔ x(x² – 5x + 6) + \frac{x² – (\sqrt[]{5x – 6})²}{x + \sqrt[]{5x – 6} } + \frac{(x + 2)² – (\sqrt[]{9x – 2})²}{x + 2 + \sqrt[]{9x – 2} } = 0$
$⇔ x(x² – 5x + 6) + \frac{x² – 5x + 6}{x + \sqrt[]{5x – 6} } + \frac{x² – 5x + 6}{x + 2 + \sqrt[]{9x – 2} } = 0$
$⇔ (x² – 5x + 6)(x + \frac{1}{x + \sqrt[]{5x – 6} } + \frac{1}{x + 2 + \sqrt[]{9x – 2} }) = 0$
$⇔ x² – 5x + 6 = 0 ⇔ x = 2; x = 3 (TM)$
Kết luận $HPT$ có $2$ nghiệm $:(x,y) = (2; 2);(3; 3) (TM(1))$