giải hệ phương trình x+y=5 và x^4+y^4=97 03/08/2021 Bởi Natalia giải hệ phương trình x+y=5 và x^4+y^4=97
Đáp án: \(S = \left\{ {\left( {3;\,\,2} \right),\,\,\left( {2;\,\,3} \right)} \right\}.\) Giải thích các bước giải: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^4} + {y^4} = 97\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4} – 2{x^2}{y^2} = 97\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} – 2{x^2}{y^2} = 97\\ \Leftrightarrow {\left[ {\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) – 2xy} \right]^2} – 2{x^2}{y^2} = 97\\ \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} – 2xy} \right]^2} – 2{x^2}{y^2} = 97\\ \Leftrightarrow {\left( {25 – 2xy} \right)^2} – 2{x^2}{y^2} = 97\\ \Leftrightarrow 625 – 100xy + 4{x^2}{y^2} – 2{x^2}{y^2} = 97\\ \Leftrightarrow 2{x^2}{y^2} – 100xy + 528 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}xy = 44\\xy = 6\end{array} \right..\end{array}\) Với \(xy = 44\) và \(x + y = 5\) ta có \(x,\,\,y\) là hai nghiệm của phương trình: \({t^2} – 5t + 44 = 0 \Rightarrow \) phương trình vô nghiệm. Với \(xy = 6\) và \(x + y = 5\) ta có \(x,\,\,y\) là hai nghiệm của phương trình: \({t^2} – 5t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\end{array} \right..\) Vậy hệ phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ {\left( {3;\,\,2} \right),\,\,\left( {2;\,\,3} \right)} \right\}.\) Bình luận
Đáp án:
\(S = \left\{ {\left( {3;\,\,2} \right),\,\,\left( {2;\,\,3} \right)} \right\}.\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^4} + {y^4} = 97\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4} – 2{x^2}{y^2} = 97\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} – 2{x^2}{y^2} = 97\\ \Leftrightarrow {\left[ {\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) – 2xy} \right]^2} – 2{x^2}{y^2} = 97\\ \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} – 2xy} \right]^2} – 2{x^2}{y^2} = 97\\ \Leftrightarrow {\left( {25 – 2xy} \right)^2} – 2{x^2}{y^2} = 97\\ \Leftrightarrow 625 – 100xy + 4{x^2}{y^2} – 2{x^2}{y^2} = 97\\ \Leftrightarrow 2{x^2}{y^2} – 100xy + 528 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}xy = 44\\xy = 6\end{array} \right..\end{array}\)
Với \(xy = 44\) và \(x + y = 5\) ta có \(x,\,\,y\) là hai nghiệm của phương trình:
\({t^2} – 5t + 44 = 0 \Rightarrow \) phương trình vô nghiệm.
Với \(xy = 6\) và \(x + y = 5\) ta có \(x,\,\,y\) là hai nghiệm của phương trình:
\({t^2} – 5t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\end{array} \right..\)
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ {\left( {3;\,\,2} \right),\,\,\left( {2;\,\,3} \right)} \right\}.\)