Giải hộ mình hệ phương trình này được không , mình cần gấp tí nữa nộp cho cô giáo nữa (1) : √x-1 + √y-1 = 3 (2) : xy + y+x = x²-2y²

0 bình luận về “Giải hộ mình hệ phương trình này được không , mình cần gấp tí nữa nộp cho cô giáo nữa (1) : √x-1 + √y-1 = 3 (2) : xy + y+x = x²-2y²”

1. Giải thích các bước giải:

   $DK:x,y \ge 1$

   Ta có:

   $\begin{array}{l}
   \left\{ \begin{array}{l}
   \sqrt {x – 1}  + \sqrt {y – 1}  = 3\\
   xy + x + y = {x^2} – 2{y^2}
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   \sqrt {x – 1}  + \sqrt {y – 1}  = 3\\
   {x^2} – xy – 2{y^2} – \left( {x + y} \right) = 0
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   \sqrt {x – 1}  + \sqrt {y – 1}  = 3\\
   \left( {x + y} \right)\left( {x – 2y} \right) – \left( {x + y} \right) = 0
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   \sqrt {x – 1}  + \sqrt {y – 1}  = 3\\
   \left( {x + y} \right)\left( {x – 2y – 1} \right) = 0
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   \sqrt {x – 1}  + \sqrt {y – 1}  = 3\\
   \left[ \begin{array}{l}
   x + y = 0\\
   x – 2y – 1 = 0
   \end{array} \right.
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
   \left\{ \begin{array}{l}
   \sqrt {x – 1}  + \sqrt {y – 1}  = 3\\
   x =  – y
   \end{array} \right.\left( I \right)\\
   \left\{ \begin{array}{l}
   \sqrt {x – 1}  + \sqrt {y – 1}  = 3\\
   x = 2y + 1
   \end{array} \right.\left( {II} \right)
   \end{array} \right.
   \end{array}$

   +) Giải $\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   x – 1 + y – 1 + 2\sqrt {\left( {x – 1} \right)\left( {y – 1} \right)}  = 3\\
   x =  – y
   \end{array} \right.$

   $\begin{array}{l}
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   2\sqrt {\left( { – y – 1} \right)\left( {y – 1} \right)}  = 5\\
   x =  – y
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   \sqrt {1 – {y^2}}  = \dfrac{5}{2}\left( {vn,do:1 – {y^2} \le 1,\forall y \Rightarrow \sqrt {1 – {y^2}}  \le 1 < \dfrac{5}{2}} \right)\\
   x =  – y
   \end{array} \right.
   \end{array}$

   $\to (I)$ vô nghiệm 

   +) Giải $\left( {II} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   \sqrt {x – 1}  + \sqrt {y – 1}  = 3\\
   x = 2y + 1
   \end{array} \right.$

   $\begin{array}{l}
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   \sqrt {2y}  + \sqrt {y – 1}  = 3\\
   x = 2y + 1
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   2y + y – 1 + 2\sqrt {2y\left( {y – 1} \right)}  = 9\\
   x = 2y + 1
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   2\sqrt {2y\left( {y – 1} \right)}  = 10 – 3y\\
   x = 2y + 1
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   10 – 3y \ge 0\\
   4.2y\left( {y – 1} \right) = {\left( {10 – 3y} \right)^2}\\
   x = 2y + 1
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   y \le \dfrac{{10}}{3}\\
   {y^2} – 52y + 100 = 0\\
   x = 2y + 1
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   y \le \dfrac{{10}}{3}\\
   \left( {y – 50} \right)\left( {y – 2} \right) = 0\\
   x = 2y + 1
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   y \le \dfrac{{10}}{3}\\
   \left[ \begin{array}{l}
   y = 50\left( l \right)\\
   y = 2\left( c \right)
   \end{array} \right.\\
   x = 2y + 1
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   y = 2\\
   x = 5
   \end{array} \right.\left( {tm} \right)
   \end{array}$

   Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(5;2)$

   Trả lời