giải hpt 1/ căn x+2 +1/ căn y-1 = 2 /x+y và x^2+y^2+4xy-4x+2y-5=0

0 bình luận về “giải hpt 1/ căn x+2 +1/ căn y-1 = 2 /x+y và x^2+y^2+4xy-4x+2y-5=0”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải: Phương pháp đánh giá

   ĐKXĐ $: x > – 2; y > 1$

   Để cho gọn đặt $: u = > 0; v = \sqrt{y – 1} > 0$ 

   $ ⇒ x + y = u² + v² – 1 = (u + v)² – 2uv – 1$

   Phương trình thứ nhất tương đương:

   $\dfrac{1}{u} + \dfrac{1}{v} = \dfrac{1}{(u + v)² – 2uv – 1}$ 

   $ ⇔ (u + v)[(u + v)² – 2uv – 1] = 2uv$

   $ ⇔ (u + v)[(u + v)² – 1] – 2uv(u + v + 1) = 0$

   $ ⇔ (u + v)(u + v – 1) – 2uv = 0$

   $ ⇔ u² + v² = u + v (*)$

   $ ⇔ x + y + 1 = \sqrt{x + 2} + \sqrt{y – 1}$

   $ ⇔ (x + y + 1)² = (\sqrt{x + 2} + \sqrt{y – 1})² ≤ 2[(x + 2) + (y – 1)] = 2(x + y + 1)$

   $ ⇔ x + y + 1 ≤ 2 ⇔ 0 < x + y ≤ 1$

   $ ⇔ (x + 1) + (y – 2) ≤ 0 (1)$

   Phương trình thứ hai tương đương:

   $ 2xy – 4x + 2y = 5 – (x + y)² ≥ 4$

   $ ⇔ xy – 2x + y – 2 ≥ 0$

   $ ⇔ (x + 1)(y – 2) ≥ 0(2)$

   $ (1); (2) ⇒ x + 1 ≤ 0; y – 2 ≤ 0 $

   $ ⇔ x + 2 ≤ 1; y – 1 ≤ 1 ⇔ u² ≤ 1; v² ≤ 1$

   $ ⇒ u² ≤ u; v² ≤ v ⇒ u² + v² ≤ u + v(**)$

   Từ $(*); (**) ⇒ u = v = 1 ⇒ x = – 1; y = 2$

   vậy HPT có nghiệm duy nhất $(x; y) = (- 1; 2)$

    

   Bình luận