Giải phương trình : x^4 – 8x^3 + 21x^2 – 24x +9 = 0 27/09/2021 Bởi Rose Giải phương trình : x^4 – 8x^3 + 21x^2 – 24x +9 = 0
Đáp án: đóng góp cách khác : Nhận thấy `x = 0` không là nghiệm của `pt` đem chia `2` vế của `pt` cho `x^2 ne 0` ta được `x^2 – 8x + 21 – 24/x + 9/x^2 = 0` `<=> (x^2 + 6 + 9/x^2) – (8x + 24/x) + 15 = 0` `<=> (x + 3/x)^2 – 8(x + 3/x) + 15 = 0 (1)` Đặt `t = x + 3/x` `(1) <=> t^2 – 8t + 15 = 0` `<=> (t – 3)(t – 5) = 0` Th1 : `t – 3 = 0 <=> x + 3/x – 3 = 0 <=> x^2 – 3x + 3 = 0` Do `x^2 – 3x + 3 = x^2 – 2.x . 3/2 + 9/4 + 3/4 = (x – 3/2)^2 + 3/4 > 0 -> V_{no}` Th2 : `t – 5 = 0 <=> x + 3/x – 5 = 0 <=> x^2 – 5x + 3 = 0` `<=> x^2 – 2.x . 5/2 + 25/4 – 13/4 = 0` `<=> (x – 5/2)^2 = 13/4` `<=> x – 5/2 = +- \sqrt{13}/2` `<=> x = (+- \sqrt{13} + 5)/2` Vậy `S = {(+- \sqrt{13} + 5)/2}` Giải thích các bước giải: Bình luận
`\qquad x^4 – 8x^3 + 21x^2 – 24x +9 = 0` `<=>x^4-3x^3+3x^2-5x^3+15x^2-15x+3x^2-9x+9=0` `<=>x^2(x^2-3x+3)-5x(x^2-3x+3)+3(x^2-3x+3)=0` `<=>(x^2-3x+3)(x^2-5x+3)=0` `<=>(x^2-2x. 3/ 2 +9/ 4)(x^2-2x. 5/ 2 +{25}/4-{13}/4)=0` `<=>[(x-3/ 2)^2+9/ 4].[(x-5/ 2)^2-{13}/4]=0\ (1)` Vì `(x-3/ 2)^2+9/ 4 \ge 9/ 4>0` với mọi $x$ `(1)<=>(x-5/ 2)^2-{13}/4=0` `<=>(x-5/ 2)^2={13}/4` $⇔\left[\begin{array}{l}x-\dfrac{5}{2}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}\\x-\dfrac{5}{2}=-\dfrac{\sqrt{13}}{2}\end{array}\right.$ $⇔\left[\begin{array}{l}x=\dfrac{5}{2}+\dfrac{\sqrt{13}}{2}\\x=\dfrac{5}{2}-\dfrac{\sqrt{13}}{2}\end{array}\right.$ Vậy tập nghiệm của phương trình là: `\qquad S={5/ 2 +{\sqrt{13}}/2;5/ 2 -{\sqrt{13}}/2}` Bình luận
Đáp án:
đóng góp cách khác :
Nhận thấy `x = 0` không là nghiệm của `pt` đem chia `2` vế của `pt` cho `x^2 ne 0` ta được
`x^2 – 8x + 21 – 24/x + 9/x^2 = 0`
`<=> (x^2 + 6 + 9/x^2) – (8x + 24/x) + 15 = 0`
`<=> (x + 3/x)^2 – 8(x + 3/x) + 15 = 0 (1)`
Đặt `t = x + 3/x`
`(1) <=> t^2 – 8t + 15 = 0`
`<=> (t – 3)(t – 5) = 0`
Th1 : `t – 3 = 0 <=> x + 3/x – 3 = 0 <=> x^2 – 3x + 3 = 0`
Do `x^2 – 3x + 3 = x^2 – 2.x . 3/2 + 9/4 + 3/4 = (x – 3/2)^2 + 3/4 > 0 -> V_{no}`
Th2 : `t – 5 = 0 <=> x + 3/x – 5 = 0 <=> x^2 – 5x + 3 = 0`
`<=> x^2 – 2.x . 5/2 + 25/4 – 13/4 = 0`
`<=> (x – 5/2)^2 = 13/4`
`<=> x – 5/2 = +- \sqrt{13}/2`
`<=> x = (+- \sqrt{13} + 5)/2`
Vậy `S = {(+- \sqrt{13} + 5)/2}`
Giải thích các bước giải:
`\qquad x^4 – 8x^3 + 21x^2 – 24x +9 = 0`
`<=>x^4-3x^3+3x^2-5x^3+15x^2-15x+3x^2-9x+9=0`
`<=>x^2(x^2-3x+3)-5x(x^2-3x+3)+3(x^2-3x+3)=0`
`<=>(x^2-3x+3)(x^2-5x+3)=0`
`<=>(x^2-2x. 3/ 2 +9/ 4)(x^2-2x. 5/ 2 +{25}/4-{13}/4)=0`
`<=>[(x-3/ 2)^2+9/ 4].[(x-5/ 2)^2-{13}/4]=0\ (1)`
Vì `(x-3/ 2)^2+9/ 4 \ge 9/ 4>0` với mọi $x$
`(1)<=>(x-5/ 2)^2-{13}/4=0`
`<=>(x-5/ 2)^2={13}/4`
$⇔\left[\begin{array}{l}x-\dfrac{5}{2}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}\\x-\dfrac{5}{2}=-\dfrac{\sqrt{13}}{2}\end{array}\right.$
$⇔\left[\begin{array}{l}x=\dfrac{5}{2}+\dfrac{\sqrt{13}}{2}\\x=\dfrac{5}{2}-\dfrac{\sqrt{13}}{2}\end{array}\right.$
Vậy tập nghiệm của phương trình là:
`\qquad S={5/ 2 +{\sqrt{13}}/2;5/ 2 -{\sqrt{13}}/2}`