Giải phương trình bằng cách đưa về tổng các bình phương
$\dfrac{1}{4\sqrt[]x}+\dfrac{1}{\sqrt[]y}=2-\sqrt[]x-4\sqrt[]y$
Giải phương trình bằng cách đưa về tổng các bình phương
$\dfrac{1}{4\sqrt[]x}+\dfrac{1}{\sqrt[]y}=2-\sqrt[]x-4\sqrt[]y$
Đáp án: Vô nghiệm.
ĐKXĐ: $x;y>0$
Ta có:
$\frac{1}{4\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=2-\sqrt{x}-4\sqrt{y}$
$⇔\frac{1}{4\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}-2+\sqrt{x}+4\sqrt{y}=0$
$⇔(\frac{1}{4\sqrt{x}}+\sqrt{x})+(\frac{1}{\sqrt{y}}+4\sqrt{y})-2=0$ $(*)$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
$\frac{1}{4\sqrt{x}}+\sqrt{x}≥2\sqrt{\frac{1}{4\sqrt{x}}.\sqrt{x}}=2\sqrt{\frac{1}{4}}=2.\frac{1}{2}=1$
$\frac{1}{\sqrt{y}}+4\sqrt{y}≥2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{y}}.4\sqrt{y}}=2\sqrt{4}=2.2=4$
$⇒VT (*)≥4+1-2=3>0$
$⇒$ Phương trình vô nghiệm.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Điều kiện $ x > 0; y > 0$ Phương trình tương đương:
$ 4\sqrt[]{y} – 4 + \frac{1}{\sqrt[]{y}} + \sqrt[]{x} + 1 + \frac{1}{4\sqrt[]{x}} + 1 = 0$
$ ⇔ \frac{4(\sqrt[]{y})² – 4\sqrt[]{y} + 1}{\sqrt[]{y}} + \frac{4(\sqrt[]{x})² + 4\sqrt[]{x} + 1}{4\sqrt[]{x}} + 1 =0 $
$ ⇔ \frac{(2\sqrt[]{y} – 1)²}{\sqrt[]{y}} + \frac{(2\sqrt[]{x} + 1)²}{4\sqrt[]{x}} + 1 = 0 $
$ ⇒ PT$ vô nghiệm