Giải phương trình lượng giác: sin3x + cos3x = 1 + sin2x

0 bình luận về “Giải phương trình lượng giác: sin3x + cos3x = 1 + sin2x”

1. Đáp án:

   $ x = k2π$

   $ x = – \frac{π}{2} + k2π$

   $ ⇔ x  = ± arccos(\frac{\sqrt[]{17} – 1}{4}) – \frac{π}{4} + k2π$

   Giải thích các bước giải:

   $ PT ⇔ 4(cos³x – sin³x) – 3(cosx – sinx) = 1 + sin2x $

   $ ⇔ 4(cosx – sinx)(cos²x + sin²x + sinxcosx) – 3(cosx – sinx) = 1 + sin2x$

   $ ⇔ (cosx – sinx)(4 + 2sin2x) – 3(cosx – sinx) = 1 + sin2x $

   $ ⇔ (cosx – sinx)(1 + 2sin2x) = 1 + sin2x (1)$

   Đặt $: t = cosx – sinx = \sqrt[]{2}cos(x + \frac{π}{4})$ 

   $ ⇒ t² = 1 – sin2x ⇒ sin2x = 1 – t²$ thay vào$(1)$

   $ t[1 + 2(1 – t²)] = 2 – t²$

   $ ⇔ 2t³ – t² – 3t + 2 = 0$

   $ ⇔ (t – 1)(2t² + t – 2) = 0$

   @ $ t – 1 = 0 ⇔ t = 1 ⇔ \sqrt[]{2}cos(x + \frac{π}{4}) = 1$

   $ ⇔ cos(x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt[]{2}}{2} $

   $ ⇔ x + \frac{π}{4} = ± \frac{π}{4} + k2π$

   $ ⇔ x = k2π; x = – \frac{π}{2} + k2π$

   @ $ 2t² + t – 2 = 0 ⇔ t = \frac{\sqrt[]{17} – 1}{4} $

   ( loại nghiệm $ t = – \frac{\sqrt[]{17} + 1}{4} < – 1$

   $ ⇔ cos(x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt[]{17} – 1}{4}$

   $ ⇔ x + \frac{π}{4} = ± arccos(\frac{\sqrt[]{17} – 1}{4}) + k2π$

   $ ⇔ x  = ± arccos(\frac{\sqrt[]{17} – 1}{4}) – \frac{π}{4} + k2π$

    

   Bình luận