Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^2=y^2+\sqrt{y+1}$ ,_______________________________,

0 bình luận về “Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^2=y^2+\sqrt{y+1}$ ,_______________________________,”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Điều kiện: $y\ge-1$

   Ta có: $\sqrt{y+1}\ge0$ với mọi $y\ge-1$

   $\to y^2+\sqrt{y+1}\ge y^2$
   Hay $x^2\ge y^2 \ \ (1)$

   +) Với $y=-1$
   $\to x^2=1^2+\sqrt{-1+1}=1$
   $\to x=±1 \ (\text{thỏa mãn})$

   +) Với $y\ge0$, ta có:

   $\begin{cases}y+1\ge \sqrt{y+1}\\2y+1\ge y+1\end{cases}→2y+1\ge \sqrt{y+1}$
   $\to y^2+2y+1\ge y^2+\sqrt{y+1}$
   $\to (y+1)^2\ge y^2+\sqrt{y+1}$

   $\to (y+1)^2\ge x^2 \ \ (2)$
   Từ $(1)$ và $(2)\to y^2\le x^2\le (y+1)^2$

   Mà $x;y \in$ `ZZ`

   $\to \left[\begin{array}{l}x^2=y^2\\x^2=(y+1)^2\end{array}\right.↔\left[\begin{array}{l}y^2+\sqrt{y+1}=y^2 \ \ (3)\\y^2+\sqrt{y+1}=(y+1)^2 \ \ (4)\end{array}\right.$
   $Pt \ (3)↔\sqrt{y+1}=0↔y=-1 \ (\text{loại})$
   $Pt \ (4)↔\sqrt{y+1}=2y+1$
   $↔y+1=4y^2+4y+1$
   $↔4y^2+3y=0$
   $↔y(4y+3)=0$
   $↔\left[\begin{array}{l}y=0\\4y+3=0\end{array}\right.↔\left[\begin{array}{l}y=0 \ (\text{thỏa mãn})\\y=-\dfrac34 \ (\text{loại})\end{array}\right.$
   Với $y=0\to x^2=1\to x=±1$
   Vậy phương trình có nghiệm nguyên $(x;y)$ là: $(1;-1),(1;0),(-1;-1),(-1;0)$

    

   Bình luận