Giải phương trình sau: (x – 2)^6 + (x – 4)^6 = 64 01/10/2021 Bởi Nevaeh Giải phương trình sau: (x – 2)^6 + (x – 4)^6 = 64
Đáp án: Ta có : Nếu `x > 4` `-> {x – 2 > 4 – 2 = 2 -> (x – 2)^6 > 2^6 = 64` `{x – 4 > 4 – 4 = 0 -> (x – 4)^6 > 0^6 = 0` `-> (x – 2)^6 + (x – 4)^6 > 64 + 0 = 64 -> V_{no}` Nếu `x < 2` , ta viết lại `pt <=> (2 – x)^6 + (4 – x)^6 = 64` `-> {2 – x > 2 – 2 = 0 -> (2 – x)^6 > 0^6 = 0` `{4 – x > 4 – 2 = 2 -> (4 – x)^6 > 2^6 = 64` `-> (2 – x)^6 + (4 – x)^6 > 64 -> V_{no}` Nếu `2 < x < 4` , viết `pt <=> (x – 2)^6 + (4 – x)^6 = 64` `-> { 0 < x – 2 < 2 -> (x – 2)^6 < 32(x – 2)` `{ 0 < 4 – x < 2 -> (4 – x)^6 < 32(4 – x)` `-> (x – 2)^6 + (4 – x)^6 < 32(x – 2 + 4 – x) = 32.2 = 64 -> V_{no}` Vậy `S = {2;4}` Giải thích các bước giải: Bình luận
Cách làm chưa phải tối ưu nhma vẫn ra kết quả, bạn tham khảo nhe Đặt $ x-4 = t$ ta có phương trình tương đương $ t^6 + (t+2)^6 = 64$ $ \to t^6 + [(t+2)^3]^2 = 64$ $ \to t^6 + (t^3 +6t^2 + 12t + 8)^2 = 64$ $\to t^6 + (t^3 +6t^2 + 12t + 8)(t^3 +6t^2 +12t + 8) = 64$ $ \to t^6 + t^3(t^3 + 6t^2 + 12t + 8) + 6t^2(t^3 + 6t^2 +12t + 8) +12t(t^3 + 6t^2 + 12t + 8) + 8(t^3 +6t^2 +12t + 8) = 64$ $\to 2(t^6 + 6t^5 +30t^4 +80t^3 +120t^2 +96t +32) = 64$ $ \to t^6 + 6t^5 +30t^4 +80t^3 +120t^2 +96t +32 = 32$ $\to t^6 + 6t^5 +30t^4 +80t^3 +120t^2 +96t = 0$ $\to t(t^5 +6t^4 + 30t^3 +80t^2 +120t + 96) = 0$ Trường hợp $1 : t = 0 \to x – 4 = t = 0 \to x = 4$ (*) Trường hợp $2$ $t^5 +6t^4 + 30t^3 +80t^2 +120t + 96 = 0$ $\to t^5 + 4t^4 + 22t^3 +36t^2+ 48t + 2t^4 + 8t^3 + 44t^2 + 72t + 96 = 0$ $\to t(t^4+ 4t^3 + 22t^2 +36t +48) + 2(t^4+ 4t^3 + 22t^2 +36t +48) = 0$ $ \to (t+2)(t^4+ 4t^3 + 22t^2 +36t +48) = 0$ Xét biểu thức $ t^4+ 4t^3 + 22t^2 +36t +48 = 0$ $ \to t^2(t^2+ 4t +4) + 18t^2 +36t +48 = 0$ $\to t^2(t+2)^2 + 18(t^2+2t+ \dfrac{8}{3} ) =0$ $ \to t^2(t+2)^2 + 18(t^2+2t+1 + \dfrac{5}{3}) = 0$ $ \to t^2(t+2)^2 + 18[ (t+1)^2 + \dfrac{5}{3} ] = 0$ $ \to t^2(t+2)^2 + 18 (t+1)^2 +30 = 0$ Ta có $ t^2(t+2)^2 + 18 (t+1)^2 \ge 0 \to t^2(t+2)^2 + 18 (t+1)^2 +30 > 0 $ Vì $t^4+ 4t^3 + 22t^2 +36t +48 = 0$ vô nghiệm $\to t +2 = 0 \to t = -2 \to x – 4 = -2 \to x = 2 $ (**) Từ (*) và (**) suy ra $ x \in \{ 2 ; 4 \}$ Bình luận
Đáp án:
Ta có :
Nếu `x > 4`
`-> {x – 2 > 4 – 2 = 2 -> (x – 2)^6 > 2^6 = 64`
`{x – 4 > 4 – 4 = 0 -> (x – 4)^6 > 0^6 = 0`
`-> (x – 2)^6 + (x – 4)^6 > 64 + 0 = 64 -> V_{no}`
Nếu `x < 2` , ta viết lại `pt <=> (2 – x)^6 + (4 – x)^6 = 64`
`-> {2 – x > 2 – 2 = 0 -> (2 – x)^6 > 0^6 = 0`
`{4 – x > 4 – 2 = 2 -> (4 – x)^6 > 2^6 = 64`
`-> (2 – x)^6 + (4 – x)^6 > 64 -> V_{no}`
Nếu `2 < x < 4` , viết `pt <=> (x – 2)^6 + (4 – x)^6 = 64`
`-> { 0 < x – 2 < 2 -> (x – 2)^6 < 32(x – 2)`
`{ 0 < 4 – x < 2 -> (4 – x)^6 < 32(4 – x)`
`-> (x – 2)^6 + (4 – x)^6 < 32(x – 2 + 4 – x) = 32.2 = 64 -> V_{no}`
Vậy `S = {2;4}`
Giải thích các bước giải:
Cách làm chưa phải tối ưu nhma vẫn ra kết quả, bạn tham khảo nhe
Đặt $ x-4 = t$ ta có phương trình tương đương
$ t^6 + (t+2)^6 = 64$
$ \to t^6 + [(t+2)^3]^2 = 64$
$ \to t^6 + (t^3 +6t^2 + 12t + 8)^2 = 64$
$\to t^6 + (t^3 +6t^2 + 12t + 8)(t^3 +6t^2 +12t + 8) = 64$
$ \to t^6 + t^3(t^3 + 6t^2 + 12t + 8) + 6t^2(t^3 + 6t^2 +12t + 8) +12t(t^3 + 6t^2 + 12t + 8) + 8(t^3 +6t^2 +12t + 8) = 64$
$\to 2(t^6 + 6t^5 +30t^4 +80t^3 +120t^2 +96t +32) = 64$
$ \to t^6 + 6t^5 +30t^4 +80t^3 +120t^2 +96t +32 = 32$
$\to t^6 + 6t^5 +30t^4 +80t^3 +120t^2 +96t = 0$
$\to t(t^5 +6t^4 + 30t^3 +80t^2 +120t + 96) = 0$
Trường hợp $1 : t = 0 \to x – 4 = t = 0 \to x = 4$ (*)
Trường hợp $2$
$t^5 +6t^4 + 30t^3 +80t^2 +120t + 96 = 0$
$\to t^5 + 4t^4 + 22t^3 +36t^2+ 48t + 2t^4 + 8t^3 + 44t^2 + 72t + 96 = 0$
$\to t(t^4+ 4t^3 + 22t^2 +36t +48) + 2(t^4+ 4t^3 + 22t^2 +36t +48) = 0$
$ \to (t+2)(t^4+ 4t^3 + 22t^2 +36t +48) = 0$
Xét biểu thức $ t^4+ 4t^3 + 22t^2 +36t +48 = 0$
$ \to t^2(t^2+ 4t +4) + 18t^2 +36t +48 = 0$
$\to t^2(t+2)^2 + 18(t^2+2t+ \dfrac{8}{3} ) =0$
$ \to t^2(t+2)^2 + 18(t^2+2t+1 + \dfrac{5}{3}) = 0$
$ \to t^2(t+2)^2 + 18[ (t+1)^2 + \dfrac{5}{3} ] = 0$
$ \to t^2(t+2)^2 + 18 (t+1)^2 +30 = 0$
Ta có $ t^2(t+2)^2 + 18 (t+1)^2 \ge 0 \to t^2(t+2)^2 + 18 (t+1)^2 +30 > 0 $
Vì $t^4+ 4t^3 + 22t^2 +36t +48 = 0$ vô nghiệm
$\to t +2 = 0 \to t = -2 \to x – 4 = -2 \to x = 2 $ (**)
Từ (*) và (**) suy ra $ x \in \{ 2 ; 4 \}$