0 bình luận về “Giải phương trình sau:
$y”-y’=e^x+e^{2x}+x$”
Lời giải:
Phương trình $y”-y’=e^x+e^{2x}+x$ có phương trình đặc trưng là $k^2-k=0$ với hai nghiệm thực $k_1=0,k_2=1$.Do đó phương trình thuần nhất tương ứng có nghiệm tổng quát là:
$y=C_1+C_2e^x$ Để tìm nghiệm riêng của phương trình đã cho ta cần tìm các nghiệm riêng của phương trình: $y”-y’=e^x(*)$ $y”-y’=e^{2x}(**)$ $y”-y’=x(***)$ Tương tự,ta có: $(*)$ có một nghiệm riêng là $y=x.e^x$ $(**)$ có một nghiệm riêng là $y=\frac{1}{2}.e^{2x}$ $(***)$ có một nghiệm riêng là $y=-\frac{1}{2}.x^2-x$ Do đó phương trình đã cho có nghiệm riêng là: $y=x.e^x+\frac{1}{2}.e^{2x}-\frac{1}{2}.x^2-x$ Suy ra phương trình có nghiệm tổng quát là: $y=x.e^x+\frac{1}{2}.e^{2x}-\frac{1}{2}.x^2-x+C_1+C_2.e^x$
Lời giải:
Phương trình $y”-y’=e^x+e^{2x}+x$ có phương trình đặc trưng là $k^2-k=0$ với hai nghiệm thực $k_1=0,k_2=1$.Do đó phương trình thuần nhất tương ứng có nghiệm tổng quát là:
$y=C_1+C_2e^x$
Để tìm nghiệm riêng của phương trình đã cho ta cần tìm các nghiệm riêng của phương trình:
$y”-y’=e^x(*)$
$y”-y’=e^{2x}(**)$
$y”-y’=x(***)$
Tương tự,ta có:
$(*)$ có một nghiệm riêng là $y=x.e^x$
$(**)$ có một nghiệm riêng là $y=\frac{1}{2}.e^{2x}$
$(***)$ có một nghiệm riêng là $y=-\frac{1}{2}.x^2-x$
Do đó phương trình đã cho có nghiệm riêng là:
$y=x.e^x+\frac{1}{2}.e^{2x}-\frac{1}{2}.x^2-x$
Suy ra phương trình có nghiệm tổng quát là:
$y=x.e^x+\frac{1}{2}.e^{2x}-\frac{1}{2}.x^2-x+C_1+C_2.e^x$
Đáp án:???