Giải phương trình: $\sqrt{1-x}+1 = 2x^2+2x$ $\sqrt{1-x^2}$

Đáp án: $x = cos(\frac{3π}{10}) ≈ 0,5878$

Giải thích các bước giải:

Điều kiện $ – 1 ≤ x ≤ 1 (1) $. Chọn góc $t ∈ [0; \frac{π}{2}](2)$
$⇒ 2t ∈ [0; π] ⇒ sint ≥ 0; sin2t ≥ 0; – 1 ≤ cos2t ≤ 1 $

Vậy có thể đặt $: x = cos2t $ hoàn toàn thỏa mãn $(1)$ khi đó:

$\sqrt[]{1 – x} = \sqrt[]{1 – cos2t} = \sqrt[]{2sin²t} = \sqrt[]{2}|sint| = \sqrt[]{2}sint $ 

$\sqrt[]{1 – x²} = \sqrt[]{1 – cos²2t} = \sqrt[]{sin²2t} = |sin2t| = sin2t$

Thay vào PT ta có:

$\sqrt[]{2}sint + 1 = 2cos²2t + 2cos2tsin2t$

$⇔\sqrt[]{2}sint = (2cos²2t – 1) + 2sin2tcos2t$

$⇔\sqrt[]{2}sint = cos4t + sin4t$

$⇔\sqrt[]{2}sint = \sqrt[]{2}sin(4t + \frac{π}{4})$

$⇔sin(4t + \frac{π}{4}) = sint$

@ $4t + \frac{π}{4} = t + 2kπ ⇔ 3t = – \frac{π}{4} + 2kπ ⇔ t = – \frac{π}{12} + 2k\frac{π}{3} (*)$

Không chọn được $k ∈ Z$ trong họ nghiệm $(*)$ để $t$ thỏa $(2)$

@ $4t + \frac{π}{4} = π – t + 2kπ ⇔5t = \frac{3π}{4} + 2kπ ⇔ t = \frac{3π}{20} + 2k\frac{π}{5} (**)$

Chọn $k = 0$ trong họ nghiệm $(**) ⇒ t = \frac{3π}{20}$ thỏa $(2)$

$⇒ 2t = \frac{3π}{10} ⇒ x = cos2t = cos(\frac{3π}{10})$

Kết luận : PT có nghiệm duy nhất $x = cos(\frac{3π}{10}) ≈ 0,5878$