Toán Giải phương trình $\sqrt{x-2}+$ $\sqrt{10-x}=x^2-12x+40$ 07/07/2021 By Adalynn Giải phương trình $\sqrt{x-2}+$ $\sqrt{10-x}=x^2-12x+40$
$ĐKXĐ : 2≤x≤10$ Pt đã cho tương đương : $4.\sqrt[]{x-2} + 4\sqrt[]{10-x} = 4x^2-12x+160$ $⇔4x^2-12x+160 – 4\sqrt[]{x-2}-4\sqrt[]{10-x} = 0 $ $⇔4.(x^2-12x+36) + (x-2-4\sqrt[]{x-2}+4) + (10-x-4\sqrt[]{10-x} + 4) = 0 $ $⇔4.(x-6)^2 + (\sqrt[]{x-2}-2)^2 + (\sqrt[]{10-x} -2)^2 = 0 $ Dấu “=” xảy ra $⇔x=6$ ( Thỏa mãn ) Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất $x=6$ Trả lời
`2<=x<=10` Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: `\sqrt{x-2}+\sqrt{10-x}<=\sqrt{(x-2)(10-x)}=\sqrt{-x^2+12x+20}=\sqrt{-(x^2-12x+36)+16}=\sqrt{-(x-6)^2+16}` mà `-(x-6)^2<=0∀x` `->\sqrt{-(x-6)^2+16}<=\sqrt{0+16}=4` `->VT<=4` Ta có: `x^2-12x+40=x^2-12x+36+4=(x-6)^2+4>=4` `->VP>=4` Ta có: \begin{cases} VT\le4\\ VP\ge4\\ VT=VP \end{cases} `->VT=VP=4` Dấu bằng xảy ra khi `x-6=0` hay `x=6(TM)` Trả lời
$ĐKXĐ : 2≤x≤10$
Pt đã cho tương đương :
$4.\sqrt[]{x-2} + 4\sqrt[]{10-x} = 4x^2-12x+160$
$⇔4x^2-12x+160 – 4\sqrt[]{x-2}-4\sqrt[]{10-x} = 0 $
$⇔4.(x^2-12x+36) + (x-2-4\sqrt[]{x-2}+4) + (10-x-4\sqrt[]{10-x} + 4) = 0 $
$⇔4.(x-6)^2 + (\sqrt[]{x-2}-2)^2 + (\sqrt[]{10-x} -2)^2 = 0 $
Dấu “=” xảy ra $⇔x=6$ ( Thỏa mãn )
Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất $x=6$
`2<=x<=10`
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
`\sqrt{x-2}+\sqrt{10-x}<=\sqrt{(x-2)(10-x)}=\sqrt{-x^2+12x+20}=\sqrt{-(x^2-12x+36)+16}=\sqrt{-(x-6)^2+16}`
mà `-(x-6)^2<=0∀x`
`->\sqrt{-(x-6)^2+16}<=\sqrt{0+16}=4`
`->VT<=4`
Ta có:
`x^2-12x+40=x^2-12x+36+4=(x-6)^2+4>=4`
`->VP>=4`
Ta có:
\begin{cases} VT\le4\\ VP\ge4\\ VT=VP \end{cases}
`->VT=VP=4`
Dấu bằng xảy ra khi `x-6=0` hay `x=6(TM)`