Giải phương trình : $\sqrt[]{x-2}$ + $\sqrt[]{4-x}$ = $x^{2}$ +6$x$ + 11 02/08/2021 Bởi Ruby Giải phương trình : $\sqrt[]{x-2}$ + $\sqrt[]{4-x}$ = $x^{2}$ +6$x$ + 11
$ĐKXĐ : 2≤x≤4$ Đầu tiên ta chứng minh BĐT $\sqrt[]{a}+\sqrt[]{b} ≤ \sqrt[]{2.(a+b)}$ với $a,b≥0$ Thật vậy, BĐT tương đương : $a+b+2\sqrt[]{ab} ≤ 2.(a+b)$ $⇔(\sqrt[]{a}-\sqrt[]{b})^2 ≥ 0$ ( Luôn đúng ) Dấu “=” xảy ra khi $a=b$ Áp dụng vào bài toán ta có : $\sqrt[]{x-2} + \sqrt[]{4-x} ≤ \sqrt[]{2.(x-2+4-x)} = 2$ Lại có : $x^2-6x+11=(x-3)^2+2 ≥ 2$ Kết hợp với đề bài thì dấu “=” xảy ra. Khi đó : $\left\{ \begin{array}{l}x-2=4-x\\(x-3)^2=0\end{array} \right.$ $\to x=3$ ( Thỏa mãn ĐKXĐ ) Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=3$ Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$ĐKXĐ : 2≤x≤4$
Đầu tiên ta chứng minh BĐT $\sqrt[]{a}+\sqrt[]{b} ≤ \sqrt[]{2.(a+b)}$ với $a,b≥0$
Thật vậy, BĐT tương đương :
$a+b+2\sqrt[]{ab} ≤ 2.(a+b)$
$⇔(\sqrt[]{a}-\sqrt[]{b})^2 ≥ 0$ ( Luôn đúng )
Dấu “=” xảy ra khi $a=b$
Áp dụng vào bài toán ta có :
$\sqrt[]{x-2} + \sqrt[]{4-x} ≤ \sqrt[]{2.(x-2+4-x)} = 2$
Lại có : $x^2-6x+11=(x-3)^2+2 ≥ 2$
Kết hợp với đề bài thì dấu “=” xảy ra.
Khi đó : $\left\{ \begin{array}{l}x-2=4-x\\(x-3)^2=0\end{array} \right.$
$\to x=3$ ( Thỏa mãn ĐKXĐ )
Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=3$