Giải phương trình vi phân: $y”+5y’+6y=\frac{1}{1+e^{2x}}$

Lời giải:

Trước hết ta xét phương trình thuần nhất:

$y”+5y’+6y=0$
với phương trình đặc trưng :$k^2+5k+6=0$ có hai nghiệm là $k1=-2,k2=-3$.Phương trình này có nghiệm tổng quát là:
    $y=C_1e^{-2x}+C_2e^{-3x}$
 Dùng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình đã cho dưới dạng.
    $y=C_1(x)e^{-2x}+C_2(x)e^{-3x}$
Trong đó:
$\left \{ {{C_1’e^{-2x}+C_2′(x)e^{-3x}=0} \atop {-2C_1′(x)e^{-2x}-3C_2′(x)e^{-3x}=\frac{1}{1+e^{2x}}}} \right.$ 
Giải hệ trên,ta được:
  $C_1′(x)=\frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}$ và $C_2′(x)=-\frac{e^{3x}}{1+e^{2x}}$
$=>C_1(x)=$$\int\limits {\frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}} \, dx$$=\frac{1}{2}ln(1+e^{2x})+D1$
$=>C_2(x)=-$$\int\limits {\frac{e^{3x}}{1+e^{2x}}} \, dx=-$$\int\limits {\frac{e^x.(1+e^{2x})-e^x}{1+e^{2x}}} \, dx$ $=-\int\limits {e^x} \, dx+$ $\int\limits {\frac{e^x}{1+e^{2x}}} \, dx=-e^x+arctg(e^x)+D2$
và do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
$y=D_1.e^{-2x}+D_2.e^{-3x}+\frac{1}{2}.e^{-2x}.ln(1+e^{2x})-e^{-2x}+e^{-3x}arctg(e^x)$ 
Hoặc:
$y=C_1.e^{-2x}+C_2.e^{-3x}+\frac{1}{2}.e^{-2x}.ln(1+e^{2x})+e^{-3x}arctg(e^x)$
với $C_1,C_2$ là số tùy ý.