Giải pt: `x+1=\sqrt(2(x+1)+2\sqrt(2(x+1)+4\sqrt(x+1)))`

`x+1=sqrt{2(x+1)+2sqrt{2(x+1)+4sqrt{x+1}}}`

Điều kiện xác định:`x+1>=0<=>x>=-1`.

Bình phương 2 vế ta có:

`(x+1)^2=2(x+1)+2sqrt{2(x+1)+4sqrt{x+1}}`

`<=>x^2+2x+1=2x+2+2sqrt{2(x+1)+4sqrt{x+1}}`

`<=>x^2-1=2sqrt{2(x+1)+4sqrt{x+1}}`

Điều kiện để 2 vế bằng nhau:

`x^2-1>=0`

`<=>(x-1)(x+1)>=0`

 \(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le -1\end{array} \right.\)

Mà `x>=-1`

 \(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x=-1\end{array} \right.\) 

Với `x=-1` thì thỏa mãn phương trình.

Với `x>=1` thì:

Bình phương 2 vế ta có:

`(x^2-1)^2=4[2(x+1)+4sqrt{x+1}]`

`<=>[(x-1)(x+1)]^2=8(x+1)+16sqrt{x+1}`

Chia cả 2 vế cho `(x+1)>0` ta có:

`(x-1)^2(x+1)=8+16/sqrt{x+1}`

`<=>(x+1)(x^2-2x+1)=8+16/sqrt{x+1}`

`<=>(x-1)^2(x+1-4+4)=8+16/sqrt{x+1}`

`<=>(x-1)^2(x-3)+4(x-1)^2-8=16/sqrt{x+1}`

`<=>(x-1)^2(x-3)+4(x-1)^2-16+8-16/sqrt{x+1}=0`

`<=>(x-1)^2(x-3)+4[(x-1)^2-4]+8(1-2/sqrt{x+1})=0`

`<=>(x-1)^2(x-3)+4(x-3)(x+1)+(8(sqrt{x+1}-2))/sqrt{x+1}=0`

`<=>(x-1)^2(x-3)+4(x-3)(x+1)+(8(x+1-4))/(sqrt{x+1}(sqrt{x+1}+2))=0`

`<=>(x-1)^2(x-3)+4(x-3)(x+1)+(8(x-3))/(sqrt{x+1}(sqrt{x+1}+2))=0`

`<=>(x-3)[(x-1)^2+4(x+1)+8/(sqrt{x+1}(sqrt{x+1}+2))]=0`

Vì `(x-1)^2+4(x+1)+8/(sqrt{x+1}(sqrt{x+1}+2))>0AAx>=1`

`<=>x-3=0`

`<=>x=3(TMĐK)`.

Vậy phương trình có tập nghiệm `S={-1,3}`.