Toán giải pt: 15/ $sinx+ \sqrt{3}cosx=\sqrt{2+cos2x+\sqrt{3}sin2x}$ 10/07/2021 By Ayla giải pt: 15/ $sinx+ \sqrt{3}cosx=\sqrt{2+cos2x+\sqrt{3}sin2x}$
Đáp án: $ – \dfrac{π}{6} + k2π ≤ x ≤ \dfrac{5π}{6} + k2π (k ∈ Z)$ Giải thích các bước giải: Ủa Áp dụng định nghĩa về Giá trị tuyệt đối $: |A| = A ⇔ A ≥ 0$ Biến đổi biểu thức dưới dấu căn $: 2 + cos2x + \sqrt{3}sin2x $ $ = sin²x + 2\sqrt{3}sinxcosx + 3cos²x = (sinx + \sqrt{3}cosx)²$ Nên $PT ⇔ sinx + \sqrt{3}cosx = |sinx + \sqrt{3}cosx|$ $ ⇔ sinx + \sqrt{3}cosx ≥ 0 ⇔ \dfrac{1}{2}sinx + \dfrac{\sqrt{3}}{2}cosx ≥ 0$ $ ⇔ sin(x + \dfrac{π}{6}) ≥ 0 ⇔ k2π ≤ x + \dfrac{π}{6} ≤ π + k2π$ $ ⇔ – \dfrac{π}{6} + k2π ≤ x ≤ \dfrac{5π}{6} + k2π (k ∈ Z)$ Trả lời
Đáp án: $\dfrac{\pi}{6} + k2\pi\geq x \geq \dfrac{2\pi}{3} + k\pi\quad (k\in \Bbb Z)$ Giải thích các bước giải: $\sin x+ \sqrt{3}\cos x=\sqrt{2+\cos2x+\sqrt{3}\sin2x}$ $(*)$ $ĐK: \, \sin x + \sqrt3\cos x \geq 0 \Leftrightarrow \cos\left(x – \dfrac{\pi}{6}\right) \geq 0$ $(*)\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{\sqrt3}{2}\cos x = \dfrac{1}{2}\sqrt{2+\cos2x+\sqrt{3}\sin2x}$ $\Leftrightarrow \cos\left(x – \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}\sqrt{2+\cos2x+\sqrt{3}\sin2x}$ $\Leftrightarrow \cos^2\left(x – \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{4}(2+\cos2x+\sqrt{3}\sin2x)$ $\Leftrightarrow \dfrac{1 + \cos\left(2x – \dfrac{\pi}{3}\right)}{2} = \dfrac{1}{4}(2+\cos2x+\sqrt{3}\sin2x)$ $\Leftrightarrow \cos\left(2x – \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}\cos2x + \dfrac{\sqrt3}{2}\sin2x$ $\Leftrightarrow \cos\left(2x – \dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\left(2x – \dfrac{\pi}{3}\right)$ (hiển nhiên) $\Rightarrow \cos\left(x – \dfrac{\pi}{6}\right) \geq 0$ $\Leftrightarrow 1 \geq \cos\left(x – \dfrac{\pi}{6}\right) \geq 0$ $\Leftrightarrow k2\pi \geq x -\dfrac{\pi}{6} \geq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ $\Leftrightarrow \dfrac{\pi}{6} + k2\pi\geq x \geq \dfrac{2\pi}{3} + k\pi\quad (k\in \Bbb Z)$ Trả lời
Đáp án: $ – \dfrac{π}{6} + k2π ≤ x ≤ \dfrac{5π}{6} + k2π (k ∈ Z)$
Giải thích các bước giải: Ủa
Áp dụng định nghĩa về Giá trị tuyệt đối $: |A| = A ⇔ A ≥ 0$
Biến đổi biểu thức dưới dấu căn $: 2 + cos2x + \sqrt{3}sin2x $
$ = sin²x + 2\sqrt{3}sinxcosx + 3cos²x = (sinx + \sqrt{3}cosx)²$
Nên $PT ⇔ sinx + \sqrt{3}cosx = |sinx + \sqrt{3}cosx|$
$ ⇔ sinx + \sqrt{3}cosx ≥ 0 ⇔ \dfrac{1}{2}sinx + \dfrac{\sqrt{3}}{2}cosx ≥ 0$
$ ⇔ sin(x + \dfrac{π}{6}) ≥ 0 ⇔ k2π ≤ x + \dfrac{π}{6} ≤ π + k2π$
$ ⇔ – \dfrac{π}{6} + k2π ≤ x ≤ \dfrac{5π}{6} + k2π (k ∈ Z)$
Đáp án:
$\dfrac{\pi}{6} + k2\pi\geq x \geq \dfrac{2\pi}{3} + k\pi\quad (k\in \Bbb Z)$
Giải thích các bước giải:
$\sin x+ \sqrt{3}\cos x=\sqrt{2+\cos2x+\sqrt{3}\sin2x}$ $(*)$
$ĐK: \, \sin x + \sqrt3\cos x \geq 0 \Leftrightarrow \cos\left(x – \dfrac{\pi}{6}\right) \geq 0$
$(*)\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{\sqrt3}{2}\cos x = \dfrac{1}{2}\sqrt{2+\cos2x+\sqrt{3}\sin2x}$
$\Leftrightarrow \cos\left(x – \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}\sqrt{2+\cos2x+\sqrt{3}\sin2x}$
$\Leftrightarrow \cos^2\left(x – \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{4}(2+\cos2x+\sqrt{3}\sin2x)$
$\Leftrightarrow \dfrac{1 + \cos\left(2x – \dfrac{\pi}{3}\right)}{2} = \dfrac{1}{4}(2+\cos2x+\sqrt{3}\sin2x)$
$\Leftrightarrow \cos\left(2x – \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}\cos2x + \dfrac{\sqrt3}{2}\sin2x$
$\Leftrightarrow \cos\left(2x – \dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\left(2x – \dfrac{\pi}{3}\right)$ (hiển nhiên)
$\Rightarrow \cos\left(x – \dfrac{\pi}{6}\right) \geq 0$
$\Leftrightarrow 1 \geq \cos\left(x – \dfrac{\pi}{6}\right) \geq 0$
$\Leftrightarrow k2\pi \geq x -\dfrac{\pi}{6} \geq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$
$\Leftrightarrow \dfrac{\pi}{6} + k2\pi\geq x \geq \dfrac{2\pi}{3} + k\pi\quad (k\in \Bbb Z)$