Giải pt bằng cách nhân liên hợp a) $\sqrt[]{12x+13}$- $\sqrt[]{4x+13}$ =$\sqrt[]{x+1}$ b) $\sqrt[]{2x^{2}-1}$ +$\sqrt[]{x^{2}-3x-2}$ =$\sqrt[]{2x^{2}

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

a) ĐKXĐ $: x > – 1 (x = – 1$ ko TM)

$ \sqrt{12x + 13} – \sqrt{4x + 13} = \sqrt{x + 1}(1)$

$PT ⇔ (12x + 13) – (4x + 13) = \sqrt{x + 1}(\sqrt{12x + 13} + \sqrt{4x + 13})$

$ ⇔ \sqrt{12x + 13} + \sqrt{4x + 13} = \dfrac{8x}{\sqrt{x + 1}} (2) $

$(1) + (2) : 2\sqrt{12x + 13} = \sqrt{x + 1} + \dfrac{8x}{\sqrt{x + 1}}$

$ ⇔ 2\sqrt{x + 1}.\sqrt{12x + 13} = 9x + 1$

$ ⇔ 4(12x² + 25x + 13) = 81x² + 18x + 1$

$ ⇔ 33x² – 82x – 51 = 0 ⇔ (x – 3)(33x + 17) = 0$

$ ⇔ x – 3 = 0$ (Vì từ $(2) ⇒ x > 0)$

$ ⇔ x = 3$ là nghiệm duy nhất

b) ĐKXĐ $: x ≤ – \dfrac{\sqrt{2}}{2}; x ≥  \dfrac{3 + \sqrt{17}}{2}$

$PT ⇔ \sqrt{2x² – 1} – \sqrt{2x² + 2x + 3} + \sqrt{x² – 3x – 2} – \sqrt{x² – x + 2} = 0$

$ ⇔ \dfrac{(2x² – 1) – (2x² + 2x + 3)}{\sqrt{2x² – 1} + \sqrt{2x² + 2x + 3}} + \dfrac{(x² – 3x – 2) – (x² – x + 2)}{\sqrt{x² – 3x – 2} + \sqrt{x² – x + 2}} = 0$

$ ⇔ – \dfrac{2x + 4}{\sqrt{2x² – 1} + \sqrt{2x² + 2x + 3}} – \dfrac{2x + 4}{\sqrt{x² – 3x – 2} + \sqrt{x² – x + 2}} = 0$

$ ⇔ (x + 2)(\dfrac{1}{\sqrt{2x² – 1} + \sqrt{2x² + 2x + 3}} + \dfrac{1}{\sqrt{x² – 3x – 2} + \sqrt{x² – x + 2}}) = 0$

$ ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = – 2 (TM)$

c) ĐKXĐ $: x ≥ 1$

$ ⇒ 2x + 1 > x – 1 ⇔  \sqrt{2x + 1} > \sqrt{x – 1}$

$ 2x + 3 > x + 3 ⇔  \sqrt{2x + 3} > \sqrt{x + 3}$

$ ⇒ \sqrt{2x + 1} + \sqrt{2x + 3} > \sqrt{x + 3} + \sqrt{x – 1} ⇒ VN$

d) ĐKXĐ $ x ≤ – (4 + \sqrt{7}) ; x ≥ \sqrt{7} – 4$

$ PT ⇔ \sqrt{2x² + 16x + 18} – (2x + 4) + \sqrt{x² – 1} =0 (1)$

$ ⇔ \dfrac{(2x² + 16x + 18) – (2x + 4)²}{\sqrt{2x² + 16x + 18} + (2x + 4) } + \sqrt{x² – 1} =0$

$ ⇔ \dfrac{ – 2(x² – 1)}{\sqrt{2x² + 16x + 18} + (2x + 4)} + \sqrt{x² – 1} =0$

$ ⇔ \sqrt{x² – 1}(1 – \dfrac{2\sqrt{x² – 1}}{\sqrt{2x² + 16x + 18} + 2x + 4}) =0$

TH 1 $: \sqrt{x² – 1} = 0 ⇔ x = ± 1 (TM)$

TH 2 $: 1 – \dfrac{2\sqrt{x² – 1}}{\sqrt{2x² + 16x + 18} + 2x + 4} = 0$

$ \sqrt{2x² + 16x + 18} + (2x + 4) – 2\sqrt{x² – 1} =0 (2)$

$(1) + (2) : 2\sqrt{2x² + 16x + 18} – \sqrt{x² – 1} =0$

$ ⇔ 8x² + 64x + 72 = x² – 1 $

$ ⇔ 7x² – 64x + 73 = 0$

$ ⇔ x = \dfrac{32 ± 3\sqrt{57}}{7} > 0 (TM)$

 

Trả lời