giải pt: $\frac{4x}{x^{2} +x+3 }$ + $\frac{5x}{x^2 – 5x + 3}$= $\frac{-3}{2}$ 06/07/2021 Bởi Abigail giải pt: $\frac{4x}{x^{2} +x+3 }$ + $\frac{5x}{x^2 – 5x + 3}$= $\frac{-3}{2}$
Xét $x=0$ không là nghiệm của phương trình: Xét $x\ne 0$ phương trình trở thành: $\begin{array}{l} \dfrac{{4x}}{{{x^2} + x + 3}} + \dfrac{{5x}}{{{x^2} – 5x + 3}} = – \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{4}{{x + \dfrac{3}{x} + 1}} + \dfrac{5}{{x + \dfrac{3}{x} – 5}} = – \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{4}{{t + 3}} + \dfrac{5}{{t – 3}} = – \dfrac{3}{2}\left( {t = x + \dfrac{1}{x} – 2} \right)\\ \Leftrightarrow 4\left( {t – 3} \right) + 5\left( {t + 3} \right) = – \dfrac{3}{2}\left( {t – 3} \right)\left( {t + 3} \right)\\ \Leftrightarrow 9t + 3 = – \dfrac{3}{2}\left( {{t^2} – 9} \right)\\ \Leftrightarrow 9t + 3 = – \dfrac{3}{2}{t^2} + \dfrac{{27}}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}{t^2} + 9t – \dfrac{{21}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 3{t^2} + 18t – 21 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t – 1} \right)\left( {3t + 21} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = – 7 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x + \dfrac{3}{x} – 2 = 1\\ x + \dfrac{3}{x} – 2 = – 7 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + \dfrac{3}{x} – 3 = 0\\ x + \dfrac{3}{x} + 5 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} – 3x + 3 = 0(PTVN)\\ {x^2} + 5x + 3 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ – 5 + \sqrt {13} }}{2}\\ x = \dfrac{{ – 5 – \sqrt {13} }}{2} \end{array} \right.\\ \Rightarrow S = \left\{ {;\dfrac{{ – 5 + \sqrt {13} }}{2};\dfrac{{ – 5 – \sqrt {13} }}{2}} \right\} \end{array}$ Bình luận
Đáp án: Tập nghiệm của phương trình là S={ $\frac{-5+√13}{2}$ ; $\frac{-5-√13}{2}$ ) Giải thích các bước giải: Thay x=0 vào phương trình, ta có: 0=$\frac{-3}{2}$ ( vô lý ) ⇒ x=0 không là nghiệm của phương trình ⇒ Chia cả tử và mẫu của các số hạng ở VT cho x ta được: $\frac{4}{x+1+3/x}$ + $\frac{5}{x-5+3/x}$ = $\frac{-3}{2}$ (1) Đặt x + $\frac{3}{x}$ = a Phương trình (1) trở thành: $\frac{4}{a+1}$ + $\frac{5}{a-5}$ = $\frac{-3}{2}$ ⇔ $\frac{4(a-5)+5(a+1)}{(a+1)(a-5)}$ = $\frac{-3}{2}$ ⇔ $\frac{4a-20+5a+5}{(a+1)(a-5)}$ = $\frac{-3}{2}$ ⇔ $\frac{9a-15}{(a+1)(a-5)}$ = $\frac{-3}{2}$ ⇔ -3(a+1)(a-5) = 2(9a-15) ⇔ -3( a² – 4a – 5) = 18a – 30 ⇔ -3a² +12a +15 = 18a – 30 ⇔ 3a² + 6a – 45=0 ⇔ a² + 2a – 15=0 (2) Ta có: Δ’ = 1² – 1.(-15) = 16>0 ⇒ Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt: $a_{1}$ = -1 + $\sqrt[]{16}$ = -1 + 4 = 3 $a_{2}$ = -1 – $\sqrt[]{16}$ = -1 – 4 = -5 +) Với a=3 ⇒ x + $\frac{3}{x}$ = 3 ⇔ $\frac{x^2+3}{x}$ = 3 ⇔ $x^{2}$ + 3 = 3x ⇔ x² – 3x+3=0 Ta có: Δ= (-3)² – 4.3 = 9-12=-3<0 ⇒ Phương trình vô nghiệm ⇒ a=3 loại +) Với a=-5 ⇒ x + $\frac{3}{x}$ = -5 ⇔ $\frac{x^2+3}{x}$ = -5 ⇔ x² + 3 = -5x ⇔ x² + 5x+3=0 Ta có: Δ= 5² – 4.1.3 = 25-12=13 >0 ⇒ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_{1,2}$ = $\frac{-5 ± √13}{2}$ Vậy tập nghiệm của phương trình là S={ $\frac{-5+√13}{2}$ ; $\frac{-5-√13}{2}$ ) Bình luận
Xét $x=0$ không là nghiệm của phương trình:
Xét $x\ne 0$ phương trình trở thành:
$\begin{array}{l} \dfrac{{4x}}{{{x^2} + x + 3}} + \dfrac{{5x}}{{{x^2} – 5x + 3}} = – \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{4}{{x + \dfrac{3}{x} + 1}} + \dfrac{5}{{x + \dfrac{3}{x} – 5}} = – \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{4}{{t + 3}} + \dfrac{5}{{t – 3}} = – \dfrac{3}{2}\left( {t = x + \dfrac{1}{x} – 2} \right)\\ \Leftrightarrow 4\left( {t – 3} \right) + 5\left( {t + 3} \right) = – \dfrac{3}{2}\left( {t – 3} \right)\left( {t + 3} \right)\\ \Leftrightarrow 9t + 3 = – \dfrac{3}{2}\left( {{t^2} – 9} \right)\\ \Leftrightarrow 9t + 3 = – \dfrac{3}{2}{t^2} + \dfrac{{27}}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}{t^2} + 9t – \dfrac{{21}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 3{t^2} + 18t – 21 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t – 1} \right)\left( {3t + 21} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = – 7 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x + \dfrac{3}{x} – 2 = 1\\ x + \dfrac{3}{x} – 2 = – 7 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + \dfrac{3}{x} – 3 = 0\\ x + \dfrac{3}{x} + 5 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} – 3x + 3 = 0(PTVN)\\ {x^2} + 5x + 3 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ – 5 + \sqrt {13} }}{2}\\ x = \dfrac{{ – 5 – \sqrt {13} }}{2} \end{array} \right.\\ \Rightarrow S = \left\{ {;\dfrac{{ – 5 + \sqrt {13} }}{2};\dfrac{{ – 5 – \sqrt {13} }}{2}} \right\} \end{array}$
Đáp án: Tập nghiệm của phương trình là S={ $\frac{-5+√13}{2}$ ; $\frac{-5-√13}{2}$ )
Giải thích các bước giải:
Thay x=0 vào phương trình, ta có: 0=$\frac{-3}{2}$ ( vô lý )
⇒ x=0 không là nghiệm của phương trình
⇒ Chia cả tử và mẫu của các số hạng ở VT cho x ta được:
$\frac{4}{x+1+3/x}$ + $\frac{5}{x-5+3/x}$ = $\frac{-3}{2}$ (1)
Đặt x + $\frac{3}{x}$ = a
Phương trình (1) trở thành: $\frac{4}{a+1}$ + $\frac{5}{a-5}$ = $\frac{-3}{2}$
⇔ $\frac{4(a-5)+5(a+1)}{(a+1)(a-5)}$ = $\frac{-3}{2}$
⇔ $\frac{4a-20+5a+5}{(a+1)(a-5)}$ = $\frac{-3}{2}$
⇔ $\frac{9a-15}{(a+1)(a-5)}$ = $\frac{-3}{2}$
⇔ -3(a+1)(a-5) = 2(9a-15)
⇔ -3( a² – 4a – 5) = 18a – 30
⇔ -3a² +12a +15 = 18a – 30
⇔ 3a² + 6a – 45=0 ⇔ a² + 2a – 15=0 (2)
Ta có: Δ’ = 1² – 1.(-15) = 16>0
⇒ Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt:
$a_{1}$ = -1 + $\sqrt[]{16}$ = -1 + 4 = 3
$a_{2}$ = -1 – $\sqrt[]{16}$ = -1 – 4 = -5
+) Với a=3 ⇒ x + $\frac{3}{x}$ = 3
⇔ $\frac{x^2+3}{x}$ = 3 ⇔ $x^{2}$ + 3 = 3x ⇔ x² – 3x+3=0
Ta có: Δ= (-3)² – 4.3 = 9-12=-3<0 ⇒ Phương trình vô nghiệm
⇒ a=3 loại
+) Với a=-5 ⇒ x + $\frac{3}{x}$ = -5
⇔ $\frac{x^2+3}{x}$ = -5 ⇔ x² + 3 = -5x ⇔ x² + 5x+3=0
Ta có: Δ= 5² – 4.1.3 = 25-12=13 >0
⇒ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_{1,2}$ = $\frac{-5 ± √13}{2}$
Vậy tập nghiệm của phương trình là S={ $\frac{-5+√13}{2}$ ; $\frac{-5-√13}{2}$ )