giải pt nghiệm nguyên 2020(x^2+y^2)-2019(2xy+1)=5

Đáp án:

(x; y) = (- 1;-2); (2; 1); (1; 2); (- 2;-1)

Giải thích các bước giải:

Đặt y = x + a ( a ∈ Z) thay vào PT:

2020[x² + (x + a)²] – 2019[2x(x + a) + 1] = 5

⇔ 2020(2x² + 2ax + a²) – 2019(2x² + 2ax + 1) = 5

⇔ x² + ax + 1010a² – 1012 = 0 (*)

Coi đây là PT bậc 2 ẩn x tham số a, để PT có nghiệm thì:

Δ = a² – 4(1010a² – 1012) = 4048 – 4039a² ≥ 0 ⇔ a² ≤ 4048/4039 < 2

Vì  a ∈ Z ⇒ a = – 1; a = 0; a = 1

– Với a = – 1 thay vào (*) có : x² – x – 2 = 0 ⇒  x = – 1; x = 2 ⇒ y = – 2; y = 1

– Với a = 0 thay vào (*) có : x² = 1012 ⇒ loại vì x ko nguyên

– Với a = 1 thay vào (*) có : x² + x – 2 = 0 ⇒  x = 1; x = – 2 ⇒ y = 2; y = – 1

KL : PT có 4 nghiệm nguyên (x; y) = (- 1;-2); (2; 1); (1; 2); (- 2;-1)