Giải PT sau: 4$\sqrt{x^2-x-2}$+ 2$\sqrt{x+1}$ = 5x-4+ $\sqrt{x-2}$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 ĐKXĐ: $x \geq 2$

$⇔8\sqrt{x^2-x-2}+4\sqrt{x+1}=10x-8+2\sqrt{x-2}$

$⇔2(5x-7-4\sqrt{x^2-x-2})+(x+5-4\sqrt{x+1})-(x-1-2\sqrt{x-2})=0$

$⇔2.\dfrac{(5x-7)^2-16(x^2-x-2)}{5x-7+4\sqrt{x^2-x-2}}+\dfrac{(x+5)^2-16(x+1)}{x+5+4\sqrt{x+1}}-\dfrac{(x-1)^2-4(x-2)}{x-1+2\sqrt{x-2}}=0$

$⇔\dfrac{18(x-3)^2}{5x-7+4\sqrt{x^2-x-2}}+\dfrac{(x-3)^2}{x+5+4\sqrt{x+1}}-\dfrac{(x-3)^2}{x-1+2\sqrt{x-2}}=0$

$⇔(x-3)^2\left( \dfrac{18}{5x-7+4\sqrt{x^2-x-2}}+\dfrac{1}{x+5+4\sqrt{x+1}}-\dfrac{1}{x-1+2\sqrt{x-2}}\right)=0$

$⇔x=3$

Ta sẽ chứng minh ngoặc đằng sau vô nghiệm bằng cách chứng minh $\dfrac{18}{5x-7+4\sqrt{x^2-x-2}}-\dfrac{1}{x-1+2\sqrt{x-2}}>0$

$⇔18x-18+36\sqrt{x-2}>5x-7+4\sqrt{x^2-x-2}$

Do $36\sqrt{x-2} \geq 0$ nên ta chỉ cần chứng minh:

$18x-18>5x-7+4\sqrt{x^2-x-2}$

$⇔13x-11>4\sqrt{x^2-x-2}$

$⇔(13x-11)^2-16(x^2-x-2)>0$

$⇔17x^2-30x+17>0$

$⇔17\left(x-\dfrac{15}{17} \right)^2+\dfrac{64}{17}>0$ (đúng)

Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất $x=3$

@@ (ಥ﹏ಥ)