giải pt: `sqrt{13+x} = 1+ sqrt{2x+3}`
Anh,chị nào giúp em giải pt trên bằng 5 cách với ạ, tối thiểu 5 cách ạ.Nếu được thì em cảm ơn nhiều lắm
ạ :'(
giải pt: `sqrt{13+x} = 1+ sqrt{2x+3}`
Anh,chị nào giúp em giải pt trên bằng 5 cách với ạ, tối thiểu 5 cách ạ.Nếu được thì em cảm ơn nhiều lắm
ạ :'(
Đáp án:
$x=3$
Giải thích các bước giải:
ĐK: $x \geq -\dfrac{3}{2}$
Cách 1: Bình phương
Ptrinh đã cho tương đương vs
$\sqrt{x+13} – \sqrt{2x+3} = 1$
$\Leftrightarrow 3x + 16 – 2\sqrt{(x+13)(2x+3)} = 1$
$\Leftrightarrow 3x + 15 = 2\sqrt{2x^2 + 29x + 39}$
$\Leftrightarrow 9x^2 + 90x + 225 = 8x^2+116x + 156$
$\Leftrightarrow x^2 – 26x +69 = 0$
$\Leftrightarrow (x-3)(x-23) = 0$
Vậy $x = 3$ hoặc $x = 23$
Thử lại ta thấy chỉ có $x = 3$ là thỏa mãn phương trình.
Vậy $S = \{3\}$.
Cách 2: Đặt ẩn phụ
– Đặt 1 ẩn phụ
Đặt $t = \sqrt{x + 13}$, $t \geq 0$ và ta có
$t^2 = x + 13 \Leftrightarrow x = t^2 – 13$
Khi đó, ptrinh trở thành
$t = 1 + \sqrt{2(t^2-13) + 3}$
$\Leftrightarrow \sqrt{2t^2 -23} = t-1$
ĐK: $t \geq 1$. Bình phương 2 vế ta có
$2t^2 – 23 = t^2 – 2t + 1$
$\Leftrightarrow t^2 + 2t -24 = 0$
$\Leftrightarrow (t-4)(t+6) = 0$
$\Leftrightarrow t = 4$ hoặc $t = -6$ (loại)
Từ đó suy ra
$\sqrt{x+13} = 4$
$\Leftrightarrow x + 13 = 16$
$\Leftrightarrow x = 3$ (TM)
Vậy $S = \{3\}$.
– Đặt 2 ẩn phụ
Đặt $a = \sqrt{2x+3}, b = \sqrt{x + 13}$ ($a, b \geq 0$). Khi đó ta có
$a^2 – 2b^2 = 2x + 3 – 2(x + 13) = -23$
Vậy ta có hệ
$\begin{cases} a + 1 = b\\ a^2 – 2b^2 = -23 \end{cases}$
Thế ptrinh đầu vào ptrinh sau ta có
$a^2 – 2(a+1)^2 = -23$
$\Leftrightarrow -a^2-4a +21 = 0$
$\Leftrightarrow a^2 + 4a – 21 = 0$
$\Leftrightarrow (a-3)(a+7) = 0$
$\Leftrightarrow a = 3$ hoặc $a = -7$ (loại)
Từ đó suy ra $b = 4$. Vậy ta có
$\begin{cases} \sqrt{2x + 3} = 3\\ \sqrt{x+13} = 4 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} 2x + 3 = 9\\ x + 13 = 16 \end{cases}$
$\Leftrightarrow x = 3$
Vậy $S = \{3\}$.
Cách 3: Trục căn thức
Ptrinh đã cho tương đương vs
$\sqrt{x+13} – 4 = \sqrt{2x+3} – 3$
$\Leftrightarrow \dfrac{x – 3}{\sqrt{x+13} + 4} = \dfrac{2x – 6}{\sqrt{2x+3} + 3}$
$\Leftrightarrow x – 3 = 0$ hoặc $\dfrac{1}{\sqrt{x+13} + 4} = \dfrac{2}{\sqrt{2x+3} + 3}$
Với trường hợp đầu ta có $x = 3$ (TMĐK).
Ta xét trường hợp sau tương đương vs
$\sqrt{2x+3} + 3 = 2\sqrt{x+13} + 8$
$\Leftrightarrow \sqrt{2x+3} – \sqrt{4x+52} = 5$
$\Leftrightarrow 6x + 55 – 4\sqrt{(x+13)(2x+3)} = 25$
$\Leftrightarrow 3x + 15 = 2\sqrt{2x^2 + 29x + 39}$
Ptrinh này đã giải ở trên và có nghiệm $x = 3$ hoặc $x = 23$. Thế vào ptrinh ta ko nhận nghiệm $x = 23$.
Vậy $S = \{3\}$.
Cách 4: Xét tính đồng biến nghịch biến
Đặt $f(x) = \sqrt{x+13}$, $g(x) = \sqrt{2x+3} + 1$
Với $x \geq -\dfrac{3}{2}$, ta có hàm $f(x)$ và $g(x)$ đồng biến trên $\left[ -\dfrac{3}{2}, +\infty \right)$.
Ta thấy ptrinh trên nhận $x = 3$ là nghiệm.
Nếu $x < 3$ thì ta có $VT < \sqrt{3 + 13} = 4$ và nếu $x > 3$ thì $VP > \sqrt{2.3 + 3} + 1 = 4$
Do đó ptrinh có nghiệm duy nhất $x = 3$.
Cách 5: