giải pt: $\sqrt[]{3x-1}$ – $\sqrt[]{x+1}$ = 3$x^{2}$ – 2x -1

Đáp án:

`S={1}` 

Giải thích các bước giải:

`\qquad \sqrt{3x-1}-\sqrt{x+1}=3x^2-2x-1` $(1)$

$ĐK: \begin{cases}3x-1\ge 0\\x+1\ge 0\end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}x\ge \dfrac{1}{3}\\x\ge -1\end{cases}$`=>x\ge 1/3`

`(1)<=>{(\sqrt{3x-1}-\sqrt{x+1})(\sqrt{3x-1}+\sqrt{x+1})}/{\sqrt{3x-1}+\sqrt{x+1}}=3x^2-3x+x-1`

`<=>{3x-1-(x-1)}/{\sqrt{3x-1}+\sqrt{x+1}}=3x(x-1)+(x-1)`

`<=>{2(x-1)}/{\sqrt{3x-1}+\sqrt{x+1}}=(x-1)(3x+1)`

`<=>(x-1). [2/{\sqrt{3x-1}+\sqrt{x+1}}-(3x+1)]=0`

`<=>`$\left[\begin{array}{l}x-1=0\\\dfrac{2}{\sqrt{3x-1}+\sqrt{x+1}}-(3x+1)=0\end{array}\right.$

`<=>`$\left[\begin{array}{l}x=1\ (thỏa\ đk)\\\dfrac{2}{\sqrt{3x-1}+\sqrt{x+1}}=3x+1\ (2)\end{array}\right.$

$\\$

Giải `(2)`

Với mọi `x\ge 1/3` ta có:

$\quad \begin{cases}3x-1\ge 0\\x+1\ge \dfrac{4}{3}\end{cases}$

`=>\sqrt{3x-1}+\sqrt{x+1}\ge 0+\sqrt{4/3}=2/{\sqrt{3}}`

`=>2/{\sqrt{3x-1}+\sqrt{x+1}}\le 2 : 2/{\sqrt{3}}=\sqrt{3}<2`

$\\$

`\qquad 3x+1\ge 3. 1/ 3 +1=2`

`=>` Phương trình `(2)` có `VT<2; VP\ge 2`

`=>(2)` vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm `S={1}`