** Giải thích rõ nha mng** Cho a+b =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= a(a ² + 2b) + b( b ² – a)

Đáp án:

\[{A_{\min }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}\]

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
A = a\left( {{a^2} + 2b} \right) + b\left( {{b^2} – a} \right)\\
 = {a^3} + 2ab + {b^3} – ab\\
 = \left( {{a^3} + {b^3}} \right) + ab\\
 = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} – ab + {b^2}} \right) + ab\\
 = 1.\left( {{a^2} – ab + {b^2}} \right) + ab\\
 = {a^2} + {b^2}\\
{\left( {a – b} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\forall a,b\\
 \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab\\
 \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge {\left( {a + b} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge \frac{1}{2}\\
 \Leftrightarrow A \ge \frac{1}{2}\\
 \Rightarrow {A_{\min }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}
\end{array}\)