Giải và biện luận các bất phương trình sau: x^2-(2m+3)x+m^2+3m+2<0 x^2-2x+2m-m^2>=0

Đáp án:

a) $ m + 1 < x < m + 2$ ( với $∀m$)

b)

– Nếu $m ≥ 1$ nghiệm là $: x ≤ 2 – m; x ≥ m$

– Nếu $m < 1$nghiệm là $: x ≤ m; x ≥ 2 – m$

Giải thích các bước giải:

a) $x² – (2m + 3)x + m² + 3m + 2 < 0$

$ ⇔ 4x² – 4(2m + 3)x + 4m² + 12m + 8 < 0$

$ ⇔ 4x² – 4(2m + 3)x + 4m² + 12m + 9 < 1$

$ ⇔ 4x² – 4(2m + 3)x + (2m + 3)² < 1$

$ ⇔ [2x – (2m + 3)]² < 1$

$ ⇔ – 1 < 2x – (2m + 3) < 1$

$ ⇔ 2m + 2 < 2x < 2m + 4$

$ ⇔ m + 1 < x < m + 2$ ( đúng với $∀m$)

b) $x² – 2x + 2m – m² ≥ 0$

$ ⇔ x² – 2x + 1 ≥ m² – 2m + 1$

$ ⇔ (x – 1)² ≥ (m – 1)² $

$ ⇔ |x – 1| ≥ |m – 1| (*)$

– Nếu $ m ≥ 1 ⇔ m – 1 ≥ 0 ⇔ |m – 1| = m – 1 $

$(*) ⇔ |x – 1| ≥ m – 1 $

$ ⇔ \left[ \begin{array}{l} x – 1 ≤ – (m – 1)\\x – 1 ≥ m – 1\end{array} \right. ⇔ \left[ \begin{array}{l} x ≤ 2 – m\\x ≥ m\end{array} \right.$

– Nếu $ m < 1 ⇔ m – 1 < 0 ⇔ |m – 1| = 1 – m $

$(*) ⇔ |x – 1| ≥ 1 – m $

$ ⇔ \left[ \begin{array}{l} x – 1 ≤ – (1 – m) \\x – 1 ≥ 1 – m\end{array} \right. ⇔ \left[ \begin{array}{l} x ≤ m\\x ≥ 2 – m\end{array} \right.$