giải và biện luận phương trình sau (a-1)x^2-(a^2-a-1)x-a=0 10/10/2021 Bởi Gabriella giải và biện luận phương trình sau (a-1)x^2-(a^2-a-1)x-a=0
Giải thích các bước giải: Ta có: \(\begin{array}{l}\left( {a – 1} \right){x^2} – \left( {{a^2} – a – 1} \right)x – a = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\TH1:\,\,a = 1\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\end{array}\) Suy ra với \(a = 1\) thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 1\) \(\begin{array}{l}TH2:\,\,\,a \ne 1\\\Delta = {\left( {{a^2} – a – 1} \right)^2} – 4.\left( {a – 1} \right).\left( { – a} \right)\\ = {a^4} + {a^2} + 1 – 2{a^3} – 2{a^2} + 2a + 4{a^2} – 4a\\ = {a^4} – 2{a^3} + 3{a^2} – 2a + 1\\ = \left( {{a^4} – 2{a^3} + {a^2}} \right) + {a^2} + \left( {{a^2} – 2a + 1} \right)\\ = {\left( {{a^2} – a} \right)^2} + {a^2} + {\left( {a – 1} \right)^2} > 0,\,\,\,\forall a \ne 1\end{array}\) Do \(\Delta > 0\) nên với \(a \ne 1\) thì phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt. Bình luận
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left( {a – 1} \right){x^2} – \left( {{a^2} – a – 1} \right)x – a = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
TH1:\,\,a = 1\\
\left( 1 \right) \Leftrightarrow x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1
\end{array}\)
Suy ra với \(a = 1\) thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 1\)
\(\begin{array}{l}
TH2:\,\,\,a \ne 1\\
\Delta = {\left( {{a^2} – a – 1} \right)^2} – 4.\left( {a – 1} \right).\left( { – a} \right)\\
= {a^4} + {a^2} + 1 – 2{a^3} – 2{a^2} + 2a + 4{a^2} – 4a\\
= {a^4} – 2{a^3} + 3{a^2} – 2a + 1\\
= \left( {{a^4} – 2{a^3} + {a^2}} \right) + {a^2} + \left( {{a^2} – 2a + 1} \right)\\
= {\left( {{a^2} – a} \right)^2} + {a^2} + {\left( {a – 1} \right)^2} > 0,\,\,\,\forall a \ne 1
\end{array}\)
Do \(\Delta > 0\) nên với \(a \ne 1\) thì phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt.