Giúp e với ạ: chứng minh x⁷-3x⁶+x⁴+x³-(m²+3)x+2=0 luôn có ít nhất 1 nghiệm dương với mọi m
Giúp e với ạ: chứng minh x⁷-3x⁶+x⁴+x³-(m²+3)x+2=0 luôn có ít nhất 1 nghiệm dương với mọi m
By Peyton
By Peyton
Giúp e với ạ: chứng minh x⁷-3x⁶+x⁴+x³-(m²+3)x+2=0 luôn có ít nhất 1 nghiệm dương với mọi m
xét $f(x)=x^7-3x^6+x^4+x^3-(m^2+3)x+2$
vì là đa thức nên liên tục trên R
ta có $f(0)=2>0$
$f(1)=1-3+1+1-(m^2+3)+2=-m^2-1=-(m^2+1)<0$
=>$f(0).f(1)<0$
=>hàm số có ít nhất 1 nghiệm trên $(0;1)$
=> hàm số luôn có ít nhất 1 nghiệm dương trên $(0;1)$ vs mọi m
xin hay nhất
Xét hàm số $f(x)=x^7-3x^6+x^4+x^3-(m^2+3)x+2$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
$f(0)=2>0$
$f(1)=1-3+1+1-(m^2+3)+2=-m^2-1=-(m^2+1)\le -1<0\quad\forall m$
$\to f(0).f(2)<0$
$\to f(x)=0$ ít nhất 1 nghiệm thuộc $(0;1)$
Vậy với mọi $x$, phương trình $f(x)=0$ luôn có ít nhất 1 nghiệm dương.