Giúp e với! XONG RỒI CHECK GIÚP E CÁC CÂU KHÁC TRONG TÀI KHOẢN Ạ <3 CHO a,b,c >0 CMR a) $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ $\geq$ $\frac{3}{2a+b}+

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \geq \dfrac{(1+ 1 + 1)^2}{a + a + b} = \dfrac{9}{2a + b}$

Tương tự ta được:

$\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geq \dfrac{9}{2b + c}$

$\dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{a} \geq \dfrac{9}{2c + a}$

Cộng vế theo vế ta được:

$3\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right) \geq 3\left(\dfrac{3}{2a + b} + \dfrac{3}{2b + c} + \dfrac{3}{2c + a}\right)$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geq \dfrac{3}{2a + b} + \dfrac{3}{2b + c} + \dfrac{3}{2c + a}$

b) Tương tự câu a.

Bằng cách áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{b} \geq \dfrac{(1 + 1+ 1 +1)^2}{a + b +b + b} = \dfrac{16}{a + 3b}$

$\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{c} \geq \dfrac{16}{b + 3c}$

$\dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{a} \geq \dfrac{16}{c + 3a}$

Cộng vế theo vế và chia hai vế cho 4 ta được:

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geq \dfrac{4}{a+3b} + \dfrac{4}{b+3c} + \dfrac{4}{c+3a}$

c) Tương tự, ta được:

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geq \dfrac{16}{2a + b + c}$

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geq \dfrac{16}{a + 2b + c}$

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{c} \geq \dfrac{16}{a + b + 2c}$

Cộng vế theo vế và chia hai vế cho 4 ta được:

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geq \dfrac{4}{2a+b +c} + \dfrac{4}{a + 2b+c} + \dfrac{4}{a + b +2c}$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$