Giúp e với! XONG RỒI CHECK GIÚP E CÁC CÂU KHÁC TRONG TÀI KHOẢN Ạ <3
CHO a,b,c >0
CMR
a) $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ $\geq$ $\frac{3}{2a+b}+\frac{3}{2b+c}+\frac{3}{2c+a}$
b) $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ $\geq$ $\frac{4}{a+3b}+\frac{4}{b+3c}+\frac{4}{c+3a}$
a) $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ $\geq$ $\frac{4}{2a+b+c}+\frac{4}{a+2b+c}+\frac{4}{a+b+2c}$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \geq \dfrac{(1+ 1 + 1)^2}{a + a + b} = \dfrac{9}{2a + b}$
Tương tự ta được:
$\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geq \dfrac{9}{2b + c}$
$\dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{a} \geq \dfrac{9}{2c + a}$
Cộng vế theo vế ta được:
$3\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right) \geq 3\left(\dfrac{3}{2a + b} + \dfrac{3}{2b + c} + \dfrac{3}{2c + a}\right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geq \dfrac{3}{2a + b} + \dfrac{3}{2b + c} + \dfrac{3}{2c + a}$
b) Tương tự câu a.
Bằng cách áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{b} \geq \dfrac{(1 + 1+ 1 +1)^2}{a + b +b + b} = \dfrac{16}{a + 3b}$
$\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{c} \geq \dfrac{16}{b + 3c}$
$\dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{a} \geq \dfrac{16}{c + 3a}$
Cộng vế theo vế và chia hai vế cho 4 ta được:
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geq \dfrac{4}{a+3b} + \dfrac{4}{b+3c} + \dfrac{4}{c+3a}$
c) Tương tự, ta được:
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geq \dfrac{16}{2a + b + c}$
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geq \dfrac{16}{a + 2b + c}$
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{c} \geq \dfrac{16}{a + b + 2c}$
Cộng vế theo vế và chia hai vế cho 4 ta được:
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geq \dfrac{4}{2a+b +c} + \dfrac{4}{a + 2b+c} + \dfrac{4}{a + b +2c}$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$