Giúp mik với ạ :Tìm giá trị của m để phương trình : x^4 – 2(m+2)*x^2 +2m+3=0 có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng .
Giúp mik với ạ :Tìm giá trị của m để phương trình : x^4 – 2(m+2)*x^2 +2m+3=0 có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng .
Đáp án:$m=\frac{-13}{9}$ hoặc $m=3$
Giải thích các bước giải:
$x^4-2(m+2)x^2+2m+3=0\\
\Leftrightarrow x^4-x^2-(2m+3)x^2+2m+3=0\\
\Leftrightarrow x^2(x^2-1)-(2m+3)(x^2-1)=0\\
\Rightarrow (x^2-1)(x^2-2m-3)=0\\
\Rightarrow x=\pm 1; x^2=2m+3$
Để phương trình có 4 phân biệt thì
$\left\{\begin{matrix}
2m+3>0 & & \\
2m+3\neq 1 & &
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
m>\frac{-3}{2} & & \\
m\neq -1 & &
\end{matrix}\right.$
Khi đó, 4 nghiệm của pt là: $x=\pm 1;x=\pm \sqrt{2m+3}$
Trường hợp 1: 0<2m+3<1
Thứ tự của cấp số cộng là $-1;-\sqrt{2m+3};\sqrt{2m+3};1$
⇒Công sai của cấp số cộng là:
$d=\frac{1-(-1)}{3}=\frac{2}{3}\\
\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
\sqrt{2m+3}+\frac{2}{3}=1 & & \\
-\sqrt{2m+3}+\frac{2}{3}=\sqrt{2m+3} & &
\end{matrix}\right.\Rightarrow m=\frac{-13}{9}$
Trường hợp 2m+3>1
⇒Thứ tự của cấp số cộng $-\sqrt{2m+3};-1;1;\sqrt{2m+3}$
⇒Công sai của cấp số cộng:
$d=1-(-1)=2
\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
1+2=\sqrt{2m+3} & & \\
-\sqrt{2m+3}+2.3=\sqrt{2m+3} & &
\end{matrix}\right.\Rightarrow m=3$