Giúp mình câu giải câu này với ạ. Mình xin cám ơn
Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)= $\frac{1}{1+\sqrt[]{x} }$ và F(0)=-1. Tính F(9)-2F(1)
Giúp mình câu giải câu này với ạ. Mình xin cám ơn
Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)= $\frac{1}{1+\sqrt[]{x} }$ và F(0)=-1. Tính F(9)-2F(1)
Đáp án:
$F(9)- 2F(1)= 3$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\quad F(x) = \displaystyle\int f(x)dx$
$\to F(x)= \displaystyle\int\dfrac{1}{1+\sqrt x}dx$
Đặt $u = \sqrt x$
$\to du = \dfrac{1}{2\sqrt x}dx$
Ta được:
$\quad F(x)= 2\displaystyle\int\dfrac{u}{u +1}du$
$\to F(x)= 2\displaystyle\int\left(1-\dfrac{1}{u+1}\right)du$
$\to F(x)= 2\displaystyle\int du – 2\displaystyle\int\dfrac{1}{u+1}du$
$\to F(x)= 2u – 2\ln|u +1| + C$
$\to F(x)= 2\sqrt x – 2\ln|\sqrt x +1| + C$
Ta lại có:
$\quad F(0)= -1$
$\to 2\sqrt 0 – 2\ln|\sqrt 0 +1| + C = -1$
$\to C = -1$
$\to F(x)= 2\sqrt x – 2\ln(\sqrt x +1) -1$
Khi đó:
$\quad F(9)- 2F(1)= 2\sqrt 9 – 2\ln(\sqrt 9 +1) – 1 – 2[2\sqrt 1 – 2\ln(\sqrt 1 +1) – 1]$
$\to F(9) – 2F(1)= 5 – 4\ln2- 2(1- 2\ln2)$
$\to F(9)- 2F(1)= 3$
Đáp án:
Giải thích các bước giải: