Giúp mình cm các bđt với ạ 1) (a^2+b^2+c^2)(1/a+b+1/b+c+1/c+a)>=3/2(a+b+c) với a,b,c>0 2) 3(a^3+b^3+c^3)>=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) với a,b,c>0

1) Áp dụng BĐT Svacxo ta được :

$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}$

$ ≥ \dfrac{9}{2.(a+b+c)}$

Lại có : $a^2+b^2+c^2 ≥ab+bc+ca$

$⇒a^2+b^2+c^2 ≥ \dfrac{(a+b+c)^2}{3}$

$⇒ (a^2+b^2+c^2).(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}) $

$≥ \dfrac{(a+b+c)^2}{3}.\dfrac{9}{2.(a+b+c)} = \dfrac{3}{2}.(a+b+c) $

Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=c>0$

2) Ta có :

$(a+b+c).(a^2+b^2+c^2) $

$ = a^3+b^3+c^3+ab.(a+b)+bc.(b+c)+ca.(c+a)$

Do đó ta cần chứng minh :

$2.(a^3+b^3+c^3) ≥ ab.(a+b)+bc.(b+c)+ca.(c+a)$

Thật vậy, ta xét :

$a^3+b^3 ≥ab.(a+b)$

$⇔a^3-a^2b+b^3-ab^2 ≥0$

$⇔a^2.(a-b)-b^2.(a-b) ≥0$

$⇔(a-b).(a^2-b^2) ≥0$

$⇔(a-b)^2.(a+b) ≥0$ ( Luôn đúng với $a,b,c>0 )$

Nên : $a^3+b^3 ≥ab.(a+b)$ (1)

Chứng minh tương tự ta có :

$b^3+c^3 ≥bc.(b+c)$ (2)

$c^3+a^3 ≥ca.(c+a)$ (3)

Cộn các vế cuả BĐT (1) , (2) và (3) ta được :

$2.(a^3+b^3+c^3) ≥ab(a+b)+bc.(b+c)+ca.(c+a)$

Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=c$

Vậy BĐT được chứng minh !