giúp mình vơi!! CMR: với a,b > 0 và a.b $\geq$ 1 thì $\frac{1}{1+a}$ + $\frac{1}{1+b}$ $\geq$ $\frac{2}{1+ căn (a.b)}$

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} – \frac{2}{{1 + \sqrt {ab} }}\\
 = \frac{{a + b + 2}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)}} – \frac{2}{{1 + \sqrt {ab} }}\\
 = \frac{{\left( {a + b + 2} \right)\left( {1 + \sqrt {ab} } \right) – 2\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {1 + \sqrt {ab} } \right)}}\\
 = \frac{{a + b + 2 + a\sqrt {ab}  + b\sqrt {ab}  + 2\sqrt {ab}  – 2 – 2a – 2b – 2ab}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {1 + \sqrt {ab} } \right)}}\\
 = \frac{{a\sqrt {ab}  + b\sqrt {ab}  + 2\sqrt {ab}  – a – b – 2ab}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {1 + \sqrt {ab} } \right)}}\\
 = \frac{{a\left( {\sqrt {ab}  – 1} \right) + b\left( {\sqrt {ab}  – 1} \right) – 2\sqrt {ab} \left( {\sqrt {ab}  – 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {1 + \sqrt {ab} } \right)}}\\
 = \frac{{\left( {a + b – 2\sqrt {ab} } \right)\left( {\sqrt {ab}  – 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {1 + \sqrt {ab} } \right)}}\\
 = \frac{{{{\left( {\sqrt a  – \sqrt b } \right)}^2}\left( {\sqrt {ab}  – 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {\sqrt {ab}  + 1} \right)}}\\
a,b \ge 1 \Rightarrow \sqrt {ab}  – 1 \ge 0 \Rightarrow \frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} – \frac{2}{{1 + \sqrt {ab} }} \ge 0\\
 \Rightarrow \frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} \ge \frac{2}{{1 + \sqrt {ab} }}
\end{array}\)