GIÚP MÌNH VỚI MÌNH CẦN GẤP!MÌNH VOTE 5
Chứng minh rằng với mọi số nguyên x,y,z ta có:
a) x ²+2y ²+2z ² ≥2xy+2yz+2z-1
b)x ²+y ²+z ² ≥xy+yz+zx
c)x ²+y ²+z ²+3 ≥2(x+y+z)
GIÚP MÌNH VỚI MÌNH CẦN GẤP!MÌNH VOTE 5
Chứng minh rằng với mọi số nguyên x,y,z ta có:
a) x ²+2y ²+2z ² ≥2xy+2yz+2z-1
b)x ²+y ²+z ² ≥xy+yz+zx
c)x ²+y ²+z ²+3 ≥2(x+y+z)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Ta có
$(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-1)^2 \geq 0$ với mọi $x, y, z$
$<-> x^2 – 2xy + y^2 + y^2 – 2yz + z^2 + z^2 – 2z + 1 \geq 0$ với mọi $x, y, z$
$<-> x^2 + 2y^2 + 2z^2 – 2xy – 2yz – 2z + 1 \geq 0$ với mọi $x, y, z$
$<-> x^2 + 2y^2 + 2z^2 \geq 2xy + 2yz + 2z – 1$ với mọi $x, y, z$
b) Áp dụng BĐT Cauchy ta có
$x^2 + y^2 \geq 2xy$ với mọi $x,y $
$y^2 + z^2 \geq 2yz$ với mọi $y,z $
$z^2 + x^2 \geq 2zx$ với mọi $x,z $
Cộng vế với vế ta có
$2x^2 + 2y^2 + 2z^2 \geq 2xy + 2yz + 2zx$
$<-> x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx$
c) Áp dụng BĐT Cauchy ta có
$x^2 + 1 \geq 2x$ với mọi $x$
$y^2 + 1 \geq 2y$ với mọi $y$
$z^2 + 1 \geq 2z$ với mọi $z$
Cộng vế với vế ta có
$x^2 + y^2 + z^2 + 1 + 1 + 1 \geq 2x + 2y + 2z$
$<-> x^2 + y^2 + z^2 + 3 \geq 2(x+ y + z)$