Giúp mình vs ạ a) 2sin^3 x + 4cos^3 x = 3sinx b) sinx(1+cosx) = 1 + cosx + cos^2 x 20/09/2021 Bởi Adalynn Giúp mình vs ạ a) 2sin^3 x + 4cos^3 x = 3sinx b) sinx(1+cosx) = 1 + cosx + cos^2 x
Đáp án: a) $x=\dfrac{\pi}4k\pi$ $(k\in\mathbb Z)$. b) $x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ $(k\in\mathbb Z)$. Giải thích các bước giải: a) $2\sin^3x+4\cos^3x=3\sin x$ Ta xét với $\cos x=0$ phương trình tương đương: $2\sin^3x=3\sin x\Leftrightarrow \sin x=0$ hoặc $2\sin^2x-3=0\Leftrightarrow\sin^2x=\dfrac32$ $\cos x=0; \sin x=0$ loại vì $\sin^2x+\cos^2x\ne1$ $\cos x=0; \sin^2 x=\dfrac32$ loại vì $\sin^2x+\cos^2x\ne1$ Vậy $\cos x=0$ không là nghiệm của phương trình, ta chia cả hai vế phương trình ban đâu cho $\cos^3x$, ta được: $2\sin^3x+4\cos^3x=3\sin x$ $\Leftrightarrow2\tan^3x+4=3\tan x\dfrac1{\cos^2x}=3\tan x(1+\tan^2x)$ $\Leftrightarrow\tan^3x+3\tan x-4=0$ $\Leftrightarrow \tan x=1$ $\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}4k\pi$ $(k\in\mathbb Z)$ Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{\pi}4k\pi$ $(k\in\mathbb Z)$. b) $\sin x(1+\cos x)=1+\cos x+\cos^2x$ $\Leftrightarrow (1+\cos x)(\sin x-1)=1-\sin^2x$ $\Leftrightarrow (\sin x-1)(1+\cos x+\sin x+1)=0$ $\Leftrightarrow\sin x=1$ hoặc $2+\sqrt2\sin x\left({x+\dfrac{\pi}4}\right)=0$ (loại) (do $2+\sqrt2\sin x\left({x+\dfrac{\pi}4}\right)\ge2+\sqrt2$) $\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ $(k\in\mathbb Z)$ Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ $(k\in\mathbb Z)$. Bình luận
Đáp án:
a) $x=\dfrac{\pi}4k\pi$ $(k\in\mathbb Z)$.
b) $x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ $(k\in\mathbb Z)$.
Giải thích các bước giải:
a) $2\sin^3x+4\cos^3x=3\sin x$
Ta xét với $\cos x=0$ phương trình tương đương:
$2\sin^3x=3\sin x\Leftrightarrow \sin x=0$ hoặc $2\sin^2x-3=0\Leftrightarrow\sin^2x=\dfrac32$
$\cos x=0; \sin x=0$ loại vì $\sin^2x+\cos^2x\ne1$
$\cos x=0; \sin^2 x=\dfrac32$ loại vì $\sin^2x+\cos^2x\ne1$
Vậy $\cos x=0$ không là nghiệm của phương trình, ta chia cả hai vế phương trình ban đâu cho $\cos^3x$, ta được:
$2\sin^3x+4\cos^3x=3\sin x$
$\Leftrightarrow2\tan^3x+4=3\tan x\dfrac1{\cos^2x}=3\tan x(1+\tan^2x)$
$\Leftrightarrow\tan^3x+3\tan x-4=0$
$\Leftrightarrow \tan x=1$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}4k\pi$ $(k\in\mathbb Z)$
Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{\pi}4k\pi$ $(k\in\mathbb Z)$.
b) $\sin x(1+\cos x)=1+\cos x+\cos^2x$
$\Leftrightarrow (1+\cos x)(\sin x-1)=1-\sin^2x$
$\Leftrightarrow (\sin x-1)(1+\cos x+\sin x+1)=0$
$\Leftrightarrow\sin x=1$ hoặc $2+\sqrt2\sin x\left({x+\dfrac{\pi}4}\right)=0$ (loại)
(do $2+\sqrt2\sin x\left({x+\dfrac{\pi}4}\right)\ge2+\sqrt2$)
$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ $(k\in\mathbb Z)$
Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ $(k\in\mathbb Z)$.