Giúp mình vs ạ
Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có AB=3a , AD= 2√3a và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’BD) bằng 3√10a .tính thể tích V của khối hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’
Giúp mình vs ạ
Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có AB=3a , AD= 2√3a và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’BD) bằng 3√10a .tính thể tích V của khối hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’
Giải thích các bước giải:
Qua A kẻ \(AH \bot BD\,\,\left( {H \in BD} \right)\), kẻ \(AK \bot A’H\,\,\,\left( {K \in A’H} \right)\)
Ta có:
ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên
\(\begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l}
A’A \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow A’A \bot BD\\
AH \bot BD
\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {A’AH} \right)\\
\Rightarrow BD \bot AK \Rightarrow AK \bot \left( {A’BD} \right)\\
\Rightarrow AK = 3\sqrt {10} a
\end{array}\)
Tam giác ABD vuông tại A nên
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {3a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2\sqrt 3 a} \right)}^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{6\sqrt 7 a}}{7}\)
Tam giác A’AH vuông tại A có đường cao AK nên ta có:
\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A'{A^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\left( {3\sqrt {10} a} \right)}^2}}} = \frac{1}{{A'{A^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{6\sqrt 7 a}}{7}a} \right)}^2}}} \Rightarrow A’A = …\)