Giúp mk tiếp nha mấy bn tối qua
Cho các số thực dương x,y,z thõa mãn `x + y + z = 3`. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : `= x^2 + y^2 + z^2 + (xy + yz + zx)/(x^2y + y^2z + z^2x)`
Giúp mk tiếp nha mấy bn tối qua
Cho các số thực dương x,y,z thõa mãn `x + y + z = 3`. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : `= x^2 + y^2 + z^2 + (xy + yz + zx)/(x^2y + y^2z + z^2x)`
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$3(x^2+y^2+z^2)=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)=(x^3+xy^2)+(y^3+yz^2)+(z^3+zx^2)+x^2y+y^2z+z^2x$
$⇒3(x^2+y^2+z^2) \geq 2x^2y+2y^2z+2z^2x+x^2y+y^2z+z^2x$
$⇔3(x^2+y^2+z^2) \geq 3(x^2y+y^2z+z^2x)$
$⇔x^2+y^2+z^2 \geq x^2y+y^2z+z^2x$
$⇒P \geq x^2+y^2+z^2+\dfrac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}=x^2+y^2+z^2+\dfrac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2(x^2+y^2+z^2)}$
$⇒P \geq x^2+y^2+z^2+\dfrac{9-(x^2+y^2+z^2)}{2(x^2+y^2+z^2)}$
$⇒P \geq x^2+y^2+z^2+\dfrac{9}{2(x^2+y^2+z^2)}-\dfrac{1}{2}$
$⇒P \geq \dfrac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)+\left( \dfrac{x^2+y^2+z^2}{2}+\dfrac{9}{2(x^2+y^2+z^2)}\right)-\dfrac{1}{2}$
$⇒P \geq \dfrac{1}{6}(x+y+z)^2+2\sqrt{\dfrac{9(x^2+y^2+z^2)}{4(x^2+y^2+z^2)}}-\dfrac{1}{2}=4$
$P_{min}=4$ khi $x=y=z=1$
Harder than I thought