Giup nốt nha mn , hết điểm rùi
Cho 101 số `a1 , a2 , …. a101` trong đó `a1 = 5 , a2 = a1 + 1/a1 , ….. , a(n + 1) = a^n + 1/a^n` với mọi `n >=1` CMR :
a, `a51 > 11`
b, `15 < a101 < 15,1
Giup nốt nha mn , hết điểm rùi
Cho 101 số `a1 , a2 , …. a101` trong đó `a1 = 5 , a2 = a1 + 1/a1 , ….. , a(n + 1) = a^n + 1/a^n` với mọi `n >=1` CMR :
a, `a51 > 11`
b, `15 < a101 < 15,1
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Theo bài ra ta có: `a_{n}>0∀n⇒\frac{1}{a_{n}}>0∀n`
Ta có: `a_{n+1}^2=a_n^2+2+\frac{1}{a_n^2}(1)`
Do vậy:
$a_1^2=25$
`a_2^2=a_1^2+2+\frac{1}{a_1^2}`
`a_3^2=a_2^2+2+\frac{1}{a_2^2}`
$…………..$
`a_{51}^2=a_{50}^2+2+\frac{1}{a_{50}^2}`
Thay thế lần lượt , ta được:
`a_{51}^2=25+2+2+….+2+(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+….+\frac{1}{a_{50}^2})` (50 số 2)
`>25+2.50=125>121`
`⇒a_{51}>11` (đpcm)
b) Chứng minh tương tự câu a, ta được:
`a_{101}^2=25+2+2+….+2+(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+….+\frac{1}{a_{100}^2})` (100 số 2)
`>25+2.100=225⇒a_{101}^2>15(2)`
Từ `a_{51}>11⇒\frac{1}{a_{51}}<\frac{1}{11}`
Theo công thức $(1)$, ta được: $a_{n+1}^2>a_{n}^2⇒a_{n+1}>a_{n}>0$
Do vậy: $a_1<a_2<…<a_{101}$
`⇒\frac{1}{a_1}>\frac{1}{a_2}>…>\frac{1}{a_{101}}`
Ta có: `\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+….+\frac{1}{a_{100}^2}`
`=(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+….+\frac{1}{a_{50}^2})+(\frac{1}{a_{51}^2}+\frac{1}{a_{52}^2}+….+\frac{1}{a_{100}^2})`
`<(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_1^2}+….+\frac{1}{a_1^2)})+(\frac{1}{a_{51}^2}+\frac{1}{a_{51}^2}+….+\frac{1}{a_{51}^2})` (50 số `\frac{1}{a_1^2}`; 50 số `\frac{1}{a_{51}^2}`)
`=50.\frac{1}{a_1^2}+50.\frac{1}{a_{51}^2}`
`<50.\frac{1}{25}+50.\frac{1}{11^2}`
`=2+\frac{50}{121}`
`<3,01`
Ta có:
`a_{101}^2=25+2+2+….+2+(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+….+\frac{1}{a_{100}^2})` (100 số 2)
`<25+100.2+3,01=228,01⇒a_{101}<15,1(3)`
Từ $(2);(3)⇒15<a_{101}<15,1$ (đpcm)
Đáp án:
Ta có :
`a_(n+1) = a_n + 1/(a_n)`
`=> (a_(n + 1))^2 = (a_n)^2 + 1/(a_n)^2 + 2`
Do đó :
`(a_1)^2 = 5^2 = 25`
`(a_2)^2 = (a_1)^2 + 1/(a_1)^2 + 2`
……..
`(a_51)^2 = (a_50)^2 + 1/(a_50)^2 + 2`
Cộng từng vế lại ra được :
`(a_51)^2 = (1/(a_1)^2 + 1/(a_2)^2 + …. + 1/(a_50)^2) + 2.50 + 25 = (1/(a_1)^2 + 1/(a_2)^2 + …. + 1/(a_50)^2) + 125 > 121 = 11^2`
`=> (a_51)^2 > 11^2`
`=> a_51 > 11`
b, Hoàn toàn tương tự như a
`=> (a_101)^2 = (1/(a_1)^2 + 1/(a_2)^2 + …. + 1/(a_100)^2) + 2.100 + 25 = (1/(a_1)^2 + 1/(a_2)^2 + …. + 1/(a_100)^2) + 225 > 15^2`
`=> (a_101)^2 > 15^2`
`=> a_101 > 15` `(3)`
Ta sẽ chứng minh tiếp `a_101 < 15,1`
`<=> (a_101)^2 < (15,1)^2 = 228,01`
Mà `(a_101)^2 = (1/(a_1)^2 + 1/(a_2)^2 + …. + 1/(a_100)^2) + 225`
nên ta sẽ đi CM : `(1/(a_1)^2 + 1/(a_2)^2 + …. + 1/(a_100)^2) < 3,01`
Ta có :
` (1/(a_1)^2 + 1/(a_2)^2 + …. + 1/(a_100)^2)`
`= [1/(a_1)^2 + 1/(a_2)^2 + …. + 1/(a_50)^2] + [1/(a_51)^2 + …. + 1/(a_100)^2]` `(1)`
Dễ thấy :
`1/(a_1)^2 > 1/(a_2)^2 > …. > 1/(a_50)^2`
`1/(a_51)^2 > 1/(a_52)^2 > …. > 1/(a_100)^2`
`=> (1) < 50 . 1/(a_1)^2 + 50 . 1/(a_51)^2 < 50 . 1/5^2 + 50.1/11^2 < 3,01` `(2)`
Từ `(3)` và `(2)`
`=> 15 < a_101 < 15,1`
Giải thích các bước giải:
`(a_50)^2 = (a_49)^2 + 1/(a_49)^2 + 2`
trong đó : `(a_49)^2 = …..` cộng dồn vào