giúp với mn ơiiiiiii,gấp lắmmmmmmm Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=xyz chứng minh $\frac{1+\sqrt[]{1+x^2}}{x}+$ $\frac{1+\sqrt[]{1+y^

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Đặt $ a = \dfrac{1}{x}; b = \dfrac{1}{y}; c = \dfrac{1}{z}$ 

$ x + y + z = xyz ⇔ \dfrac{1}{xy} + \dfrac{1}{yz} + \dfrac{1}{zx} = 1 ⇔ ab + bc + ca = 1$

Vì $x; y; z > 0 ⇔ \dfrac{1}{x} = \sqrt[]{\dfrac{1}{x²}}; \dfrac{1}{y} = \sqrt[]{\dfrac{1}{y²}}; \dfrac{1}{z} = \sqrt[]{\dfrac{1}{z²}}$ nên ta có:

$ \dfrac{1 + \sqrt[]{1 + x²}}{x} + \dfrac{1 + \sqrt[]{1 + y²}}{y} + \dfrac{1 + \sqrt[]{1 + z²}}{z} ≤ 3(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}) (1)$ 

$ ⇔ \dfrac{1}{x}\sqrt[]{1 + x²} + \dfrac{1}{y}\sqrt[]{1 + y²} + \dfrac{1}{z}\sqrt[]{1 + z²} ≤ 2(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z})$ 

$ ⇔ \sqrt[]{\dfrac{1}{x²}(1 + x²)} + \sqrt[]{\dfrac{1}{y²}(1 + y²)} +\sqrt[]{ \dfrac{1}{z²}(1 + z²)} ≤ 2(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z})$ 

$ ⇔ \sqrt[]{\dfrac{1}{x²} + 1} +  \sqrt[]{\dfrac{1}{y²} + 1} + \sqrt[]{\dfrac{1}{z²} + 1} ≤ 2(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z})$

$ ⇔ \sqrt[]{a² + 1} +  \sqrt[]{b² + 1} + \sqrt[]{c² + 1} ≤ 2(a + b + c)$

$ ⇔ \sqrt[]{a² + ab + bc + ca} +  \sqrt[]{b² + ab + bc + ca} + \sqrt[]{c² + ab + bc + ca} ≤ 2(a + b + c)$

$ ⇔ \sqrt[]{(a + b)(c + a)} +  \sqrt[]{(b + c)(a + b)} + \sqrt[]{(c + a)(b + c)} ≤ 2(a + b + c) (2)$

Áp dụng $BĐT$ cô si:

$ \sqrt[]{(a + b)(c + a)} ≤ \dfrac{1}{2}[(a + b) + (c + a)] = \dfrac{1}{2}(2a + b + c)$ 

$ \sqrt[]{(b+ c)(a + b)} ≤ \dfrac{1}{2}[(b + c) + (a + b)] = \dfrac{1}{2}(a + 2b + c)$ 

$ \sqrt[]{(c + a)(b + c)} ≤ \dfrac{1}{2}[(c + a) + (a + b)] = \dfrac{1}{2}(a + b + 2c)$ 

Cộng lại $: \sqrt[]{(a + b)(c + a)} +  \sqrt[]{(b + c)(a + b)} + \sqrt[]{(c + a)(b + c)} ≤ 2(a + b + c)$

Vậy $(2)$ luôn đúng $⇔ (1)$ đúng.

Dấu $ ‘=’$ xảy ra khi $ a = b = c ⇔ x = y = z = \sqrt{3}$