GIÚP VỚI MỌI NGƯỜI ƠIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII …………..gấppppppppppppp quá………….
cho tam giác ABC nhọn..Chúng minh rằng :$ cos^{2}A+$ $cos^{2}B+$$cos^{2}C<1$
GIÚP VỚI MỌI NGƯỜI ƠIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII …………..gấppppppppppppp quá………….
cho tam giác ABC nhọn..Chúng minh rằng :$ cos^{2}A+$ $cos^{2}B+$$cos^{2}C<1$
Kẻ các đường cao $AD, BE, CF$
Xét $∆AEB$ và $∆AFC$ có:
$\widehat{A}:$ góc chung
$\widehat{E} = \widehat{F} = 90^o$
Do đó $∆AEB\sim ∆AFC\, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AE}{AF} = \dfrac{AB}{AC}$
$\Rightarrow \dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC}$
Xét $∆AEF$ và $∆ABC$ có:
$\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC}$ $(cmt)$
$\widehat{A}:$ góc chung
Do đó $∆AEF\sim ∆ABC\,(c.g.c)$
$\Rightarrow \dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}} = \left(\dfrac{AE}{AB}\right)^2 = \cos^2A$
Chứng minh tương tự, ta được:
$∆BFD\sim ∆BCA$
$\Rightarrow \dfrac{S_{BFD}}{S_{ABC}} = \left(\dfrac{BF}{BC}\right)^2 = \cos^2B$
$∆CED\sim ∆CBA$
$\Rightarrow \dfrac{S_{CED}}{S_{ABC}} = \left(\dfrac{CF}{BC}\right)^2 = \cos^2C$
Ta được:
$\cos^2A + \cos^2B + \cos^2C = \dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}} + \dfrac{S_{BFD}}{S_{ABC}} + \dfrac{S_{CED}}{S_{ABC}} = \dfrac{S_{AEF} + S_{BFD} + S_{CED}}{S_{ABC}}$
Do $S_{AEF} + S_{BFD} + S_{CED} < S_{ABC}$
nên $\dfrac{S_{AEF} + S_{BFD} + S_{CED}}{S_{ABC}} < 1$
$\Rightarrow \cos^2A + \cos^2B + \cos^2C < 1$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Kẻ ba đường cao `AD,BE,CF`
`ΔAEB ~ ΔAFC` (g-g)
`⇒ \frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}`
`⇒ \frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}`
`ΔAEF ~ ΔABC` (c-g-c)
`⇒ \frac{S_{ΔAEF}}{S_{ΔABC}}=(\frac{AE}{AB})^2=cos^2 A`
Tương tự `\frac{S_{ΔBDF}}{S_{ΔABC}}=cos^2 B`
`\frac{S_{ΔCDE}}{S_{ΔABC}}=cos^2 C`
`⇒ cos^2 A+cos^2 B+ cos^2 C=\frac{S_{ΔAEF}+S_{ΔBDF}+S_{ΔCDE}}{S_{ΔABC}}<1`