Gọi A B C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA×sinB×sinC

0 bình luận về “Gọi A B C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA×sinB×sinC”

1. Vì `A;B;C` là $3$ góc của tam giác

   `=>A+B+C=180°`

   `=>C=180°-(A+B)`

   Ta có: `sin[180°-(A+B)]=sin(A+B)`

   `=>sinC=sin(A+B)`

   `\qquad cos[180°-(A+B)]=-cos(A+B)`

   `=>cosC=-cos(A+B)`

   $\\$

   `\qquad sin2A+sin2B+sin2C`

   `=2sin\ {2A+2B}/2 \ cos\ {2A-2B}/2 +sin2C`

   `=2sin (A+B).cos(A-B)+2sinCcosC`

   `=2sinC.cos(A-B)+2sinC.cosC`

   `=2sinC.[cos(A-B)+cosC]`

   `=2sinC.[cos(A-B)-cos(A+B)]`

   `=2sinC.[cosAcosB+sinAsinB-(cosAcosB-sinAsinB)]`

   `=2sinC.2sinAsinB`

   `=4sinAsinBsinC`

   Vậy: `sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC`

   Bình luận

2. CHÚC BẠN HỌC TỐT!!!

   Trả lời:

   $A+B+C=\pi$

   $⇒\begin{cases}\sin C=\sin (\pi-A-B)=\sin (A+B)\\\cos C=\cos(\pi-A-B)=-\cos(A+B)\end{cases}$

   $\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=4\sin A.\sin B.\sin C$

   $VT=\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C$

   $=2.\sin(A+B).\cos(A-B)+\sin 2C$

   $=2.\sin(A+B).\cos(A-B)+2.\sin C.\cos C$

   $=2.\sin C.[\cos(A-B)+\cos C]$

   $=2.\sin C.[\cos(A-B)-\cos(A+B)]$

   $=4.\sin A.\sin B.\sin C=VP$ (Đpcm).

   Bình luận