Gọi A B C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA×sinB×sinC
Gọi A B C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA×sinB×sinC
By Amara
By Amara
Gọi A B C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA×sinB×sinC
Vì `A;B;C` là $3$ góc của tam giác
`=>A+B+C=180°`
`=>C=180°-(A+B)`
Ta có: `sin[180°-(A+B)]=sin(A+B)`
`=>sinC=sin(A+B)`
`\qquad cos[180°-(A+B)]=-cos(A+B)`
`=>cosC=-cos(A+B)`
$\\$
`\qquad sin2A+sin2B+sin2C`
`=2sin\ {2A+2B}/2 \ cos\ {2A-2B}/2 +sin2C`
`=2sin (A+B).cos(A-B)+2sinCcosC`
`=2sinC.cos(A-B)+2sinC.cosC`
`=2sinC.[cos(A-B)+cosC]`
`=2sinC.[cos(A-B)-cos(A+B)]`
`=2sinC.[cosAcosB+sinAsinB-(cosAcosB-sinAsinB)]`
`=2sinC.2sinAsinB`
`=4sinAsinBsinC`
Vậy: `sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC`
CHÚC BẠN HỌC TỐT!!!
Trả lời:
$A+B+C=\pi$
$⇒\begin{cases}\sin C=\sin (\pi-A-B)=\sin (A+B)\\\cos C=\cos(\pi-A-B)=-\cos(A+B)\end{cases}$
$\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=4\sin A.\sin B.\sin C$
$VT=\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C$
$=2.\sin(A+B).\cos(A-B)+\sin 2C$
$=2.\sin(A+B).\cos(A-B)+2.\sin C.\cos C$
$=2.\sin C.[\cos(A-B)+\cos C]$
$=2.\sin C.[\cos(A-B)-\cos(A+B)]$
$=4.\sin A.\sin B.\sin C=VP$ (Đpcm).