Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác biết rằng: (1+b/a)(1+c/b)(1+a/c)=8
Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều
Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác biết rằng: (1+b/a)(1+c/b)(1+a/c)=8
Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều
Đáp án:
Áp dụng BĐT ` Cô – si` ta có
`VT = (1 + b/a)(1 + c/b)(1 + a/c) ≥ 2\sqrt{1 . b/a} . 2\sqrt{1 . c/b} . 2\sqrt{1 . a/c} = 8.\sqrt{(abc)/(abc)} = 8 = VP`
Dấu “=” xảy ra `<=> b/a = c/b = a/c = 1 <=> a = b = c`
Vậy `Δ` đó là `Δ` đều
Giải thích các bước giải:
Ta có $ ( 1 + \dfrac{b}{a}) ( 1+ \dfrac{c}{b}) ( 1+ \dfrac{a}{c}) = 8$
$ \to \dfrac{a+b}{a} . \dfrac{b+c}{b} . \dfrac{a+c}{c} = 8$
$ \to \dfrac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc} = 8$
$\to (a+b)(b+c)(a+c) = 8abc$
Mặt khác ta có bất đẳng thức $ (a+b)(b+c)(a+c) \ge 8abc$ $(*)$
Thật vậy, vì $a,b,c$ là độ dài $3$ cạnh của $1$ tam giác nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
$ a+ b \ge 2 \sqrt{ab} ; b +c \ge 2\sqrt{bc} ; c+a \ge 2\sqrt{ac}$
Nhân vế với vế, ta có
$ (a+b)(b+c)(a+c) \ge 2.2.2 \sqrt{ab.bc.ac} = 8abc$ ; (*) được chứng minh
Dấu $=$ xảy ra khi $ a= b =c$
Vì $a =b=c$ nên tam giác đó là tam giác đều (đpcm)