Gọi a,b,c là độ dài các cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{b+c}$ + $\frac{b}{c+a}$ + $\frac{c}{a+b}$ < 2
Gọi a,b,c là độ dài các cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{b+c}$ + $\frac{b}{c+a}$ + $\frac{c}{a+b}$ < 2
Đáp án:
$\frac{a}{b+c}+ \frac{b}{c+a}+\frac{c}{a + b} < 2$
Giải thích các bước giải:
$Với$ $a,b,c$ $là$ $3$ $cạnh$ $của$ $1$ $tam$ $giác$ $ta$ $có$:
$\frac{a}{b + c} < \frac{a + a}{a + b + c} = \frac{2a}{a+b+c} (1)$
$\frac{b}{c + a} < \frac{b + b}{a + b + c} =\frac{2b}{a + b + c} (2)$
$\frac{c}{a + b} < \frac{c + c}{a + b + c} =\frac{2c}{a + b + c} (3)$
$Cộng$ $vế$ $với$ $vế$ $của$ $(1) , (2) , (3)$ $ta$ $có :$
$\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} < \frac{2a}{a + b + c} + \frac{2b}{a + b + c} +\frac{2c}{a + b + c}$
$→ \frac{a}{b+c}+ \frac{b}{c+a}+\frac{c}{a + b} < \frac{2a + 2b + 2c}{a + b + c}$
$→ \frac{a}{b+c}+ \frac{b}{c+a}+\frac{c}{a + b} < \frac{2(a + b + c)}{a + b + c}$
$→ \frac{a}{b+c}+ \frac{b}{c+a}+\frac{c}{a + b} <2$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$\frac{a}{b+c}=\frac{2a}{b+c+b+c}<\frac{2a}{a+b+c}$
Tương tự ta có $\frac{b}{c+a}<\frac{2b}{a+b+c}$,$\frac{c}{a+b}<\frac{2c}{a+b+c}$, $\frac{b}{c+a}<\frac{2b}{a+b+c}$, $\frac{c}{a+b}<\frac{2c}{a+b+c}$.
Cộng từng vế bất đẳng thức ta được: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} <2$