Gọi `h_a; h_b; h_c` là độ dài `3` đường cao, `r` là độ dài tâm đường tròn nội tiếp. CMR: nếu `h_a+h_b+h_c=9r` thì đó là ` Δ` đều

0 bình luận về “Gọi `h_a; h_b; h_c` là độ dài `3` đường cao, `r` là độ dài tâm đường tròn nội tiếp. CMR: nếu `h_a+h_b+h_c=9r` thì đó là ` Δ` đều”

1. Ta có:

   $\quad ah_a = bh_b = ch_c =2S$

   $\to \begin{cases}h_a =\dfrac{2S}{a}\\h_b=\dfrac{2S}{b}\\h_c=\dfrac{2S}{c}\end{cases}$

   Ta được:

   $h_a + h_b + h_c = \dfrac{2S}{a}+\dfrac{2S}{b}+\dfrac{2S}{c} = 2S\left(\dfrac1a +\dfrac1b +\dfrac1c\right)$

   $\to h_a + h_b + h_c \geq 2S\cdot\dfrac{9}{(a+b+c)}$

   $\to h_a + h_b + h_c \geq 2pr\cdot\dfrac{9}{(a+b+c)}$

   $\to h_a + h_b + h_c \geq r\cdot(a+b+c)\cdot\dfrac{9}{(a+b+c)}$

   $\to h_a + h_b + h_c \geq 9r$

   Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c\Leftrightarrow$ tam giác đều

   Vậy $h_a + h_b + h_c = 9r \Leftrightarrow$ tam giác đã cho là tam giác đều

   Bình luận