gọi m là điểm bất kì trong tam giác ABC các dường thẳng AM,BM,CM cắt các cạnh tại A’,B’,C’ .
CMR:
$\frac{AM}{A’M}$ +$\frac{BM}{B’M}$+ $\frac{CM}{C’M}$ $\geq$ 6
gọi m là điểm bất kì trong tam giác ABC các dường thẳng AM,BM,CM cắt các cạnh tại A’,B’,C’ . CMR: $\frac{AM}{A’M}$ +$\frac{BM}{B’M}$+ $\frac{CM}{C’
By Aubrey
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Với $a, b > 0$ ta có BĐT :
$(a – b)² ≥ 0 ⇔ a² + b² ≥ 2ab ⇔ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} ≥ 2 (*) $
Gọi $S_{1}; S_{2}; S_{3} $ theo thứ tự là diện tích $ ΔAMB; ΔBMC; ΔCMA$
Vì $ΔAMB; ΔA’MB$ có đáy lần lượt là $AM; A’M$ và chung đường cao hạ từ $B$
Và $ΔAMC; ΔA’MC$ có đáy lần lượt là $AM; A’M$ và chung đường cao hạ từ $C$ nên:
$\frac{AM}{A’M} = \frac{S_{1}}{S(A’MB)} = \frac{S_{3}}{S(A’MC)} = \frac{S_{1} + S_{3}}{S(A’MB) + S(A’MB)} = \frac{S_{1} + S_{3}}{S_{2}} (1)$
Tương tự: $\frac{BM}{B’M} = \frac{S_{2} + S_{1}}{S_{3}} (2)$ và $\frac{CM}{C’M} = \frac{S_{3} + S_{2}}{S_{1}} (3)$
$(1) + (2) + (3) : \frac{AM}{A’M} + \frac{BM}{B’M} + \frac{CM}{C’M} = \frac{S_{1} + S_{3}}{S_{2}} + \frac{S_{2} + S_{1}}{S_{3}} + \frac{S_{3} + S_{2}}{S_{1}} $
$ = (\frac{S_{1}}{S_{2}} + \frac{S_{2}}{S_{1}}) + (\frac{S_{2}}{S_{3}} + \frac{S_{3}}{S_{2}}) + (\frac{S_{3}}{S_{1}} + \frac{S_{1}}{S_{3}}) ≥ 6$ ( theo $(*)$)
Dấu$ “=”$ xảy ra khi $S_{1} = S_{2} = S_{3} = \frac{1}{3}S(ABC)$
$⇔ M$ là trọng tâm $ΔABC$