Gọi M,N là các giao điểm của Parabol y=x^2 và đường thẳng y=x+2.Diện tích tam giác OMN bằng

Đáp án:

${S_{OMN}} = \sqrt {10} $

Giải thích các bước giải:

 Phương trình hoành độ giao điểm của parabol $(P):y=x^2$ và đường thẳng $(d):y=x+2$ là:

$\begin{array}{l}
{x^2} = x + 2\\
 \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  – 1\\
x = 2
\end{array} \right.
\end{array}$

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}
x =  – 1 \Rightarrow y = 1\\
x = 2 \Rightarrow y = 4
\end{array} \right.$

$\to M(-1;1),N(2;4)$ 

Lại có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
OM = \sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt 2 \\
ON = \sqrt {{2^2} + {4^2}}  = 2\sqrt 5 \\
MN = \sqrt {{{\left( {2 – \left( { – 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {4 – 1} \right)}^2}}  = 3\sqrt 2 
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow O{M^2} + M{N^2} = O{N^2}\\
 \Rightarrow \Delta OMN;\widehat M = {90^0}\\
 \Rightarrow {S_{OMN}} = \dfrac{1}{2}OM.MN = \dfrac{1}{2}.\sqrt 2 .2\sqrt 5  = \sqrt {10} 
\end{array}$

Vậy ${S_{OMN}} = \sqrt {10} $