Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD.
a/ Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b/ Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác MNPQ là :
b1/ Hình chữ nhật
b2/ Hình thoi
b3/ Hình vuông
Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD.
a/ Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b/ Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác MNPQ là :
b1/ Hình chữ nhật
b2/ Hình thoi
b3/ Hình vuông
a) Xét ΔADB có
Q là trung điểm của AD(gt)
M là trung điểm của AB(gt)
Do đó: QM là đường trung bình của ΔADB(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒QM//DB và QM=DB2QM=DB2(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)
Xét ΔCDB có
P là trung điểm của CD(gt)
N là trung điểm của BC(gt)
Do đó: PN là đường trung bình của ΔCDB(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒PN//DB và PN=DB2PN=DB2(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(2)
Từ (1) và (2) suy ra QM//PN và QM=PN
Xét tứ giác MNPQ có QM//PN(cmt) và QM=PN(cmt)
nên MNPQ là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành MNPQ trở thành hình chữ nhật khi PQMˆ=900PQM^=900
hay QM⊥QP
Xét ΔDAC có
Q là trung điểm của AD(gt)
P là trung điểm của CD(gt)
Do đó: QP là đường trung bình của ΔDAC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒QP//AC và QP=AC2QP=AC2(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
Ta có: QP⊥QM(cmt)
QP//AC(cmt)
Do đó: QM⊥AC(định lí 2 từ vuông góc tới song song)
Ta có: QM⊥AC(cmt)
QM//DB(cmt)
Do đó: AC⊥DB(định lí 2 từ vuông góc tới song song)
Vậy: Khi tứ giác ABCD có thêm điều kiện AC⊥DB thì hình bình hành MNPQ trở thành hình chữ nhật
b) Hình bình hành MNPQ trở thành hình thoi khi QM=QP
mà QM=DB2QM=DB2(cmt)
và QP=AC2QP=AC2(cmt)
nên DB=AC
Vậy: Khi tứ giác ABCD có AC=DB thì hình bình hành MNPQ trở thành hình thoi
c) Hình bình hành MNPQ trở thành hình vuông khi MNPQ vừa là hình chữ nhật và vừa là hình thoi
⇔DB⊥AC và DB=AC