Hãy chứng minh: $a^{2}+b^2+c^2$ $\geq ab+ac+bc$

0 bình luận về “Hãy chứng minh: $a^{2}+b^2+c^2$ $\geq ab+ac+bc$”

1. Ta có:

   $(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2$$\geq0$

   ⇔ $2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac$ $\geq 0$ 

   ⇔ $2a^2+2b^2+2c^2 ≥ 2ab+2bc+2ac$

   ⇔ $a^2+b^2+c^2 ≥ ab+ac+bc$

   Bình luận

2. Ta có: $(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc$

   Mà $(a+b+c)²≥0$ $∀$ $a,b,c$

   $⇒a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc≥0$ $∀$ $a,b,c$

   $⇒a²+b²+c²≥-2(ab+ac+bc)$ $∀$ $a,b,c$

   mà $a²≥0$ $∀$ $a$; $b²≥0$ $∀$ $b$; $c²≥0$ $∀$ $c$

   ⇒$a²+b²+c²≥0$ $∀$ $a,b,c$(1)

   ⇒$-2(ab+ac+bc)≥0$ $∀$ $a,b,c$

   ⇒$(ab+ac+bc)≤0$ $∀$ $a,b,c$(2)

   Từ (1) và (2) ⇒ $a²+b²+c²≥ab+ac+bc$ $∀$ $a,b,c$

    

   Bình luận